x^4+4*x^3+x^2-1 надо разложить на множители

задан 17 Мар '14 13:23

Боюсь, что этот многочлен не имеет "хорошего" разложения на множители. А как возникла сама эта задача?

(17 Мар '14 14:14) falcao

Надо разло отжить, да ещё с целыми коэффициентами.Это задача от преподавателя.А что, невозможно?

(17 Мар '14 15:27) Верик

Этот многочлен нельзя разложить на множители с целыми коэффициентами. Скорее всего, где-то допущена опечатка.

(17 Мар '14 15:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я могу привести доказательство того, что разложить этот многочлен на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Прежде всего, у этого многочлена нет рациональных корней. Согласно известным необходимым условиям, ими могли бы быть только дроби вида $%p/q$%, где $%p$% -- делитель свободного члена, $%q$% -- делитель старшего коэффициента. Значений тут всего два: $%1$% и $%-1$%. Ни одно из них не является корнем.

Предположим теперь, что есть разложение в произведение двух множителей второй степени. Произведение старших коэффициентов равно $%1$%. Значит, их можно считать равными $%1$%. Далее, произведение свободных членов равно $%-1$%. Тогда это числа $%1$% и $%-1$%.

Рассмотрим разложение вида $%x^4+4x^3+x^2-1=(x^2+ax+1)(x^2+bx-1)$%. Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, имеем следующие три условия: $%a+b=4$%; $%ab=1$%; $%b-a=0$%. Ясно, что они одновременно выполняться не могут.

ссылка

отвечен 17 Мар '14 15:57

Вы предположили, что такое разложение возможно, потому что любой многочлен можно разложить на произведение из многочленов низких степеней?

(17 Мар '14 19:44) Dragon65

@Dragon65: нет, я этим фактом не пользовался. Я доказывал, что разложить многочлен на множители с целыми коэффициентами нельзя. Я предположил, что такое разложение существует, и показал, что это предположение приводит к противоречию.

(17 Мар '14 19:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×453

задан
17 Мар '14 13:23

показан
1329 раз

обновлен
17 Мар '14 19:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru