|
Такая вот система (модель эпидемии, если что): $$\begin{cases}x(n+1) = x(n) - b \ast x(n) \ast y(n)\\y(n+1) = y(n) + b \ast x(n) \ast y(n)\end{cases}$$ (Можно источник, где решение описано.) задан 26 Мар '12 11:19 
onesickbastard |
|
Из системы следует, что x+y = const, поэтому одну функцию можно исключить и получить одно уравнение относительно одной неизвестной функции, например x(n). Далее уравнение можно свести к дифференциальному заменой x(n+1)-x(n) -> dx/dn. Решение полученного уравнения описано, например, здесь отвечен 26 Мар '12 15:41 
Андрей Юрьевич спасибо. А можно ли решить систему, не прибегая к аппарату дифференциальных уравнений? (Понимаю, что дифференциальные и разностные тесно связаны, но всё же)
(27 Мар '12 0:10)
onesickbastard
Смотря что понимать под словом "решить". Система записана в рекуррентной форме, поэтому задав x(1) и y(1) можно получить x(2), y(2) ... x(n), y(n) для любого n. Для компьютерной программы - очень хороший алгоритм.
(27 Мар '12 0:18)
Андрей Юрьевич
решить - значит найти такие x(n), y(n) - функции от n, заданные явно.
(27 Мар '12 0:44)
onesickbastard
Не знаю, думаю, что с произвольными параметрами - вряд ли. Посмотрите справочник с последовательностями.
(27 Мар '12 0:55)
Андрей Юрьевич
|
|
Нет ли каких-нибудь известных ограничений на b и на значения x, y? При некоторых значениях параметров x растут чрезвычайно быстро (так как на каждом шаге зависимость квадратичная). При этом соответствующие y становятся меньше 0. Допустимо ли это?
В последнем случае хотя бы не происходит полного вымирания. Хорошо бы еще учесть выздоровление (увеличение x) с выработкой иммунитета! отвечен 27 Мар '12 0:56 
DocentI b находится в (0, 1)
(27 Мар '12 1:02)
onesickbastard
А отрицательные x, y допустимы? Если это количество чего0нибудь, то нет.
(27 Мар '12 1:04)
DocentI
Извините, не подумал, что это сразу не ясно. x0 - численность здоровых особей, y0 - численность больных. Обычно в начальных условиях y0 < x0
(27 Мар '12 1:08)
onesickbastard
Добиться того, чтобы обе последовательности имели положительные значения, довольно трудно. Это точно будет, если bc < 1, где c = x(0) + y(0). А каков смысл коэффициента b? Эксперимент показывает, что при этом значения x быстро приближаютя к 0. Но у Вас в модели никто не умирает? (сумма x и y постоянна).
(27 Мар '12 1:12)
DocentI
Ну это, в общем, понятно. Но велик ли он или мал? Если bc > 1, некотрые x могут стать отрицательными (не доказывала, но в численном эксперименте так). Впрочем, Вам нужно точное решение? Непонятно, правда, зачем... Может, достаточно асимптотического поведения?
(27 Мар '12 1:31)
DocentI
Но мне графики, собственно, и не надо, необходимо получить функции, которые их описывают.
(27 Мар '12 23:04)
onesickbastard
Это вряд ли. Там кадратичные зависимости... Что-то я такого не видела. И вряд ли кто-то здесь будет мучаться, искать, без всякой надежды, что решение существует. Могу написать формулу только в простейшем случае. Если N=x(n)+y(n) - численность населения, то $%x(n+1)=bx^2(n)+cx(n), c=1-bN$%. В случае, если c = 0, получаем $%x(n)=b^{2^n-1}x^{2^n}(0)$%
(28 Мар '12 0:10)
DocentI
может тогда посоветуете литературу по решению подобных систем?
(28 Мар '12 10:59)
onesickbastard
показано 5 из 8
показать еще 3
|
@onesickbastard, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.