Такая вот система (модель эпидемии, если что):

$$\begin{cases}x(n+1) = x(n) - b \ast x(n) \ast y(n)\\y(n+1) = y(n) + b \ast x(n) \ast y(n)\end{cases}$$
x0 - численность здоровых особей, y0 - численность больных, b - коэффициент передачи инфекции.

(Можно источник, где решение описано.)

задан 26 Мар '12 11:19

изменен 27 Мар '12 9:32

1

@onesickbastard, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(26 Мар '12 11:31) ХэшКод
10|600 символов нужно символов осталось
0

Из системы следует, что x+y = const, поэтому одну функцию можно исключить и получить одно уравнение относительно одной неизвестной функции, например x(n). Далее уравнение можно свести к дифференциальному заменой x(n+1)-x(n) -> dx/dn. Решение полученного уравнения описано, например, здесь

ссылка

отвечен 26 Мар '12 15:41

спасибо. А можно ли решить систему, не прибегая к аппарату дифференциальных уравнений? (Понимаю, что дифференциальные и разностные тесно связаны, но всё же)

(27 Мар '12 0:10) onesickbastard

Смотря что понимать под словом "решить". Система записана в рекуррентной форме, поэтому задав x(1) и y(1) можно получить x(2), y(2) ... x(n), y(n) для любого n. Для компьютерной программы - очень хороший алгоритм.

(27 Мар '12 0:18) Андрей Юрьевич

решить - значит найти такие x(n), y(n) - функции от n, заданные явно.

(27 Мар '12 0:44) onesickbastard

Не знаю, думаю, что с произвольными параметрами - вряд ли. Посмотрите справочник с последовательностями.

(27 Мар '12 0:55) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
0

Нет ли каких-нибудь известных ограничений на b и на значения x, y? При некоторых значениях параметров x растут чрезвычайно быстро (так как на каждом шаге зависимость квадратичная). При этом соответствующие y становятся меньше 0. Допустимо ли это?
alt text

alt text

В последнем случае хотя бы не происходит полного вымирания. Хорошо бы еще учесть выздоровление (увеличение x) с выработкой иммунитета!

ссылка

отвечен 27 Мар '12 0:56

изменен 27 Мар '12 15:26

b находится в (0, 1)

(27 Мар '12 1:02) onesickbastard

А отрицательные x, y допустимы? Если это количество чего0нибудь, то нет.

(27 Мар '12 1:04) DocentI

Извините, не подумал, что это сразу не ясно. x0 - численность здоровых особей, y0 - численность больных. Обычно в начальных условиях y0 < x0

(27 Мар '12 1:08) onesickbastard

Добиться того, чтобы обе последовательности имели положительные значения, довольно трудно. Это точно будет, если bc < 1, где c = x(0) + y(0). А каков смысл коэффициента b? Эксперимент показывает, что при этом значения x быстро приближаютя к 0. Но у Вас в модели никто не умирает? (сумма x и y постоянна).

(27 Мар '12 1:12) DocentI

Ну это, в общем, понятно. Но велик ли он или мал? Если bc > 1, некотрые x могут стать отрицательными (не доказывала, но в численном эксперименте так). Впрочем, Вам нужно точное решение? Непонятно, правда, зачем... Может, достаточно асимптотического поведения?

(27 Мар '12 1:31) DocentI

Но мне графики, собственно, и не надо, необходимо получить функции, которые их описывают.

(27 Мар '12 23:04) onesickbastard

Это вряд ли. Там кадратичные зависимости... Что-то я такого не видела. И вряд ли кто-то здесь будет мучаться, искать, без всякой надежды, что решение существует. Могу написать формулу только в простейшем случае. Если N=x(n)+y(n) - численность населения, то $%x(n+1)=bx^2(n)+cx(n), c=1-bN$%. В случае, если c = 0, получаем $%x(n)=b^{2^n-1}x^{2^n}(0)$%

(28 Мар '12 0:10) DocentI

может тогда посоветуете литературу по решению подобных систем?

(28 Мар '12 10:59) onesickbastard
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×21
×7

задан
26 Мар '12 11:19

показан
1588 раз

обновлен
28 Мар '12 10:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru