|
При каких значениях параметра система имеет ровно два решения? $$|x^2-7x+6|+x^2+5x+6-12|x|=0 \\\ x^2-2(a-2)x+a(a-4)=0$$ задан 17 Мар '14 17:46 
Amalia |
|
Я здесь попробовал так:первое уравнение раскрыл модули при соответствующих условиях, получилась большая система(тут не приведу) и корни $%x\in[1;6],-3,-2$%. Второе уравнение хорошо преобразовалось, через дискриминант корни $%x_1=a+4,x_2=a$% Отсюда впринципе видно когда неравенство имеет 2 решения: когда квадратное уравнение их имеет, и эти решения входят в решения первого) Т.е. подходят $%a\in[1;2],-3,-2$%. отвечен 17 Мар '14 19:27 
Dragon65 Ошибся с одним корнем, не $%a+4$% а $%a-4$% и ответ $%a∈{1}∪{2}∪[5;6].$%
(19 Мар '14 16:57)
Dragon65
@Dragon65: да, ответ такой, только при записи нужно отдельные элементы окружать фигурными скобками. Здесь происходит объединение множеств, то есть каждый "операнд" должен выступать в качестве множества. Объект $%a$% и одноэлементное множество $%\{a\}$%, состоящее из $%a$% -- это разные вещи.
(19 Мар '14 17:35)
falcao
просто {} эти скобки под $% с двух сторон исчезают как их писать?)
(19 Мар '14 19:25)
Dragon65
|
|
В первом уравнении бросается в глаза, что 7+5=12 (коэффициенты при $%x$%), и возникает мысль как-то это использовать. Например, так: $%|x^2-7x+6|+(x^2-7x+6)=|12x|-12x$%. Придадим этому уравнению вид $%|a|+a=|b|-b$%, где $%a=x^2-7x+6$%, $%b=12x$%, и исследуем, когда это возможно. Левая часть равна $%2a$% при $%a > 0$% и равна нулю при $%a\le0$%, в соответствии с определением модуля. Правая часть равна нулю при $%b\ge0$% и равна $%-2b$% при $%b < 0$%. Рассматриваем два случая. Обе части уравнения либо равны нулю, либо положительны. В первом случае получается система $%a\le0$%, $%b\ge0$%, то есть $$\left\{\begin{array}{l}x^2-7x+6\le0 \\ x\ge0\end{array}.\right.$$ Сразу же решим эту систему, получая $%x\in[1;6]$%. Во втором случае, когда обе части уравнения положительны, должны выполняться неравенства $%a > 0$%, $%b < 0$%, а также равенство $%2a=-2b$%. Таким образом, $%a+b=0$%, и из неравенств можно оставить только одно (последнее). Здесь получается система $$\left\{\begin{array}{l}x^2+5x+6=0 \\ x < 0\end{array}.\right.$$ Оба корня квадратного уравнения удовлетворяют неравенству, то есть $%x=-3$% или $%x=-2$%. У нас обе рассмотренные системы образуют совокупность, выписывать которую нет необходимости, а достаточно лишь объединить множества решений. Первое уравнение системы из условия задачи имеет такое множество решений: $%x\in\{-3\}\cup\{-2\}\cup[1;6]$%. Обратимся ко второму уравнению. Его можно решить через дискриминант, но проще увидеть по теореме Виета, что корни его равны $%x=a$% и $%x=a-4$%. Они различны, и оба должны удовлетворять первому условию изначальной системы. Это значит, что $%a\in\{-3\}\cup\{-2\}\cup[1;6]$% и $%a-4\in\{-3\}\cup\{-2\}\cup[1;6]$%. Второе условие равносильно $%a\in\{1\}\cup\{2\}\cup[5;10]$%. Таким образом, $%a$% принадлежит двум множествам, и осталось рассмотреть их пересечение. В ответе получится $%a\in\{1\}\cup\{2\}\cup[5;6]$%. отвечен 17 Мар '14 19:51 
falcao |