В трапеции ABCD (BC||AD) диагонали пересекаются в точке O. Известно что CD=AO и BC=OD. Диагональ CA есть биссектриса угла BCD. Найдите углы трапеции.

задан 17 Мар '14 23:12

изменен 19 Мар '14 12:37

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для удобства положим $%BC=OD=1$% и $%CD=AO=x$%. Углы $%BCA$% и $%DCA$% равны, так как $%CA$% является биссектрисой. При этом $%BCA$% равен $%CAD$% ввиду параллельности оснований трапеции. Из этого следует равенство углов $%DCA$% и $%DAC$%, то есть $%DA=DC=x$%.

Рассматривая подобные треугольники $%OBC$% и $%ODA$%, замечаем, что $%OC:OA=BC:DA$%, откуда $%OC=1$%. Получается, что треугольник $%BCD$% разрезан на два равнобедренных треугольника $%BCD$% и $%COD$%. Пусть $%\beta$% -- величина каждого из двух углов, на который биссектриса $%CA$% делит угол при вершине $%B$%. Такую же величину имеет угол $%BDC$%, и тогда $%COB$% как внешний угол равен $%2\beta$%, и таков же по величине угол $%CBD$%. Сумма углов треугольника $%BCD$% при этом равна $%5\beta$%, то есть $%\beta$% равен $%36^{\circ}$%. Из этого заключаем, что углы трапеции при вершинах $%C$% и $%D$% равны $%72^{\circ}$% и $%108^{\circ}$% соответственно.

В треугольнике $%BCD$% оба угла при вершинах $%B$% и $%C$% оказались равны $%72^{\circ}$%. Поэтому $%DB=DC=DA=x$%. Рассматривая равнобедренный треугольник $%ADB$% с углом при вершине $%D$%, равным $%72^{\circ}$%, получаем, что его острые углы равны $%54^{\circ}$%. Следовательно, угол при вершине $%A$% в трапеции равен $%54^{\circ}$%, а угол при вершине $%B$% составляет $%126^{\circ}$%.

ссылка

отвечен 19 Мар '14 12:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
17 Мар '14 23:12

показан
994 раза

обновлен
19 Мар '14 12:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru