Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с задачкой. Очень нужно, три недели не могу с ней никак разобраться:

Выборка $%x_1, …, x_n$% сделана из распределения Пуассона с параметром $%\lambda$%. Найти распределение выборки $%y_1, …, y_n$%, где $%y_i = F(x_i)$%, а $%F(y) $% - функция распределения Пуассона.

При том в исходном задачнике ответ дан в виде: $$ P\{Y_1 = 0\} = e^{- \lambda}, P\{Y_1 = \sum_{i=0}^{k-1} \frac{\lambda^i \cdot e^{- \lambda}}{i!}\} = \lambda^k \cdot \frac{e^{- \lambda}}{k!},$$

Заранее огромное спасибо!

задан 18 Мар '14 0:09

Вот оно что! Если бы Вы сразу привели этот ответ, стало бы понятно, что здесь надо было сделать. Задача сама по себе почти "тавтологична", потому что если выписать все определения, то тут же получался ответ. Это вызывало определённую степень недоумения.

Постараюсь вскоре написать даже не столько решение, сколько комментарий к ответу -- если никто не сделает этого до меня.

(18 Мар '14 0:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем рассуждать в терминах случайных величин, так как выборки тут никакой роли не играют. Имеется случайная величина $%X$%, имеющая пуассоновское распределение с параметром $%\lambda$%. Это значит, что данная с.в. принимает целые неотрицательные значения, причём значение $%k\ge0$% принимается с вероятностью $%p_k=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$%.

Далее рассматривается функция распределения $%F(a)$% данной случайной величины, определяемая как $%F(a)=P\{X < a\}$%. Её график имеет "ступенчатый" вид, то есть она равна нулю при $%a\in(-\infty;0]$%, далее равна $%p_0$% на промежутке $%(0;1]$%; потом равна $%p_0+p_1$% при $%a\in(1;2]$%, и так далее. Иными словами, $%F(a)=p_0+p_1+\cdots+p_k$% при $%a\in(k;k+1]$%.

Требуется найти распределение случайной величины $%Y=F(X)$%. Эта величина также будет дискретной, и принимает она в точности те значения, которые принимает функция $%F(a)$%. Это числа $%0$%, $%p_0$%, $%p_0+p_1$%, ..., $%p_0+p_1+\cdots+p_k$%, ... и так далее.

Для описания дискретной случайной величины достаточно указать вероятности, с которыми она принимает каждое из этих значений (т.е. "закон распределения", как его часто называют). Укажем эти вероятности.

Прежде всего, $%P\{Y=0\}=P\{F(X)=0\}=P\{X\le0\}=P\{X=0\}=p_0$%. Далее укажем общую формулу для вероятности того, что с.в. $%Y$% принимает значение $%p_0+p_1+\cdots+p_k=\sum_{i=0}^kp_i$%, где $%k\ge0$%. Здесь получается так: $$P\{Y=\sum\limits_{i=0}^kp_i\}=P\{F(X)=\sum\limits_{i=0}^kp_i\}=P\{X\in(k;k+1]\}=P\{X=k+1\}=p_{k+1}.$$ Это в точности то же, что приведено у Вас в ответе -- с точностью до "сдвига" индекса на единицу.

ссылка

отвечен 18 Мар '14 0:40

@falcao, спасибо огромное!) А я все пыталась статистику здесь применять... А все оказалось совсем по-другому. Спасибо!

(18 Мар '14 1:40) Ice_Fox
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,217
×249

задан
18 Мар '14 0:09

показан
538 раз

обновлен
18 Мар '14 1:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru