Доказать, что циклически несократимые U и V группы F, сопряжены в F, тогда и только тогда когда, один из них является циклической перестановкой другого.

задан 18 Мар '14 1:56

изменен 18 Мар '14 23:05

Deleted's gravatar image


126

Подкорректируйте, пожалуйста, условие. Здесь не хватает некоторых подразумеваемых слов.

(18 Мар '14 1:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%U$%, $%V$% -- циклически несократимые групповые слова. Предположим, что они сопряжены с свободной группе. Тогда существует слово $%X$% такое, что $%X^{-1}UX$% равно $%V$% в свободной группе, то есть у этих слов совпадают приведённые формы. Само $%X$% можно считать приведённым.

Индукцией по длине слова $%X$% докажем, что $%U$%, $%V$% отличаются циклической перестановкой. Если $%X$% пусто, то доказывать нечего, так как $%U$% и $%V$% совпадают. Далее считаем, что $%X$% непусто. Если бы слово $%X^{-1}UX$% было приведённым, то оно совпадало бы с $%V$%, и это противоречило бы условию циклической приведённости слова $%V$%. Значит, в слове $%X^{-1}UX$% можно сделать сокращения. Без ограничения общности будем считать, что сокращение взаимно обратных букв возможно на "стыке" слов $%X^{-1}$% и $%U$% (второй случай, когда $%UX$% сократимо, симметричен рассматриваемому).

Полагаем $%U=aU'$%, где $%a$% -- буква. Тогда $%X^{-1}$% оканчивается на $%a^{-1}$%, то есть $%X=aX'$% для некоторого слова $%X'$%. При этом $%X^{-1}UX=(X')^{-1}a^{-1}aU'aX'$%, что равно в свободной группе слову $%(X')^{-1}(U'a)X'$%. Поскольку $%|X'| < |X|$%, можно применить индукционное предположение и заключить, что слова $%U'a$% и $%V$% отличаются циклической перестановкой. Тогда это же верно для слов $%U=aU'$% и $%V$%.

ссылка

отвечен 18 Мар '14 2:12

А какой раздел математики это изучает-циклические перестановки?

(19 Мар '14 17:19) Dragon65

@Dragon65: здесь вопрос из области теории групп, а сами по себе циклические перестановки -- вещь совершенно элементарная. Скажем, у слова abcd есть ещё три циклических перестановки: bcda, cdab, dabc. Это некая "частность", которая в качестве самостоятельного предмета изучения не фигурирует.

(19 Мар '14 17:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×803

задан
18 Мар '14 1:56

показан
642 раза

обновлен
19 Мар '14 17:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru