теория-групп - Циклические перестановки

Пусть $%U$%, $%V$% -- циклически несократимые групповые слова. Предположим, что они сопряжены с свободной группе. Тогда существует слово $%X$% такое, что $%X^{-1}UX$% равно $%V$% в свободной группе, то есть у этих слов совпадают приведённые формы. Само $%X$% можно считать приведённым.

Индукцией по длине слова $%X$% докажем, что $%U$%, $%V$% отличаются циклической перестановкой. Если $%X$% пусто, то доказывать нечего, так как $%U$% и $%V$% совпадают. Далее считаем, что $%X$% непусто. Если бы слово $%X^{-1}UX$% было приведённым, то оно совпадало бы с $%V$%, и это противоречило бы условию циклической приведённости слова $%V$%. Значит, в слове $%X^{-1}UX$% можно сделать сокращения. Без ограничения общности будем считать, что сокращение взаимно обратных букв возможно на "стыке" слов $%X^{-1}$% и $%U$% (второй случай, когда $%UX$% сократимо, симметричен рассматриваемому).

Полагаем $%U=aU'$%, где $%a$% -- буква. Тогда $%X^{-1}$% оканчивается на $%a^{-1}$%, то есть $%X=aX'$% для некоторого слова $%X'$%. При этом $%X^{-1}UX=(X')^{-1}a^{-1}aU'aX'$%, что равно в свободной группе слову $%(X')^{-1}(U'a)X'$%. Поскольку $%|X'| < |X|$%, можно применить индукционное предположение и заключить, что слова $%U'a$% и $%V$% отличаются циклической перестановкой. Тогда это же верно для слов $%U=aU'$% и $%V$%.