Из области определения функции

$%y=\log_7(a^a-a^{\frac{7x+4}{x+4}})$%

взяли все целые положительные числа и сложили их. Найдите все значения $%a$%, при которых такая сумма будет больше $%7$%, но меньше $%11$%.

Я начал с этого: Так как $%a^a-a^{\frac{7x+4}{x+4}}>0$%, то методом рационализации имеем:$%(a-1)(a-\frac{7x+4}{x+4})>0$%, где $%a>0$%. Обозначим $%F(x;a)=(a-1)(a-\frac{7x+4}{x+4})$% График уравнения $%F(x;a)=0$% будет таким: alt text Решим уравнение $%a=\frac{7x+4}{x+4}$% сительно переменной $%x$% и найдем $%x=\frac{4-4a}{a-7}$%. Ясно, что надо рассматривать промежуток, $%a>1$%, но что дальше делать, я особо не понимаю.

задан 19 Мар '14 18:53

изменен 19 Мар '14 22:47

Deleted's gravatar image


126

1

@kirill1771: тут надо рассматривать не уравнения, а неравенства. Например, при $%a > 1$% (кстати, совсем не очевидно, что к этому случаю всё сводится) получится обычное линейное неравенство $%a > \frac{7x+4}{x+4}$%. Его надо обычным способом решить относительно $%x$% при заданном $%a$%, и посмотреть, какие натуральные $%x$% туда попадут.

(19 Мар '14 20:16) falcao

@falcao: я написал, что это ясно мне, но я согласен, что при письменном решении это надо будет доказать, рассмотрев $%0<a<1$% и показав, что при этом значении $%a$% $%x$% может принимать все положительны значения, что не удовлетворяет условию задачи. Я не очень понял, что Вы имели в виду.

(19 Мар '14 21:15) kirill1771

Если рассмотреть суммы натуральных чисел от $%1$% (так как при 1<a<7 минимальное значение $%x$% равен $%1$%), то видно, что $%1+2+3+4=10$%, а $%1=2+3+4+5=15$%, следовательно $%4 \leq x <5$% или $%4 \leq \frac{4-4a}{a-7} <5$%, решая это неравенство, получаем нужные значения $%a$%.

(19 Мар '14 21:21) kirill1771

@kirill1771: мне кажется, задача сама по себе не очень простая. Путь решения в целом понятен (я его описал), но если с подробностями, то надо писать отдельно. Я только одну вещь замечу: допустим, Вы решили неравенство и получилось что-то типа $%x > b$%, где $%b$% зависит от $%a$%. Эти случаи не годятся, так как если подходит одно $%x$%, то их подходит бесконечно много. А вот если получится неравенство вида $%x < b$%, то $%b$% должно быть между 4 и 5 (сумма 1+2+3=6, и этого мало, а сумма 1+2+3+4+5=15, и этого много).

И ещё: если не сказано, что $%a > 0$%, то возможен случай целых $%a < 0$%.

(19 Мар '14 21:24) falcao

@falcao: спасибо, то есть мой коментарий выше - правильный?

(19 Мар '14 21:34) kirill1771
1

@kirill1771: я когда свой комментарий писал, то Вашего ещё не видел. Когда я анализировал случай $%a > 1$%, то у меня получилось так же. Правда, я целиком всё до конца не разбирал.

(19 Мар '14 21:43) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,843
×259

задан
19 Мар '14 18:53

показан
876 раз

обновлен
19 Мар '14 21:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru