Как доказать: Если сепарабельно банахово пространство X*, то сепарабельно и X. Доказать что обратное неверно.

задан 19 Мар '14 20:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%X^{\ast}$% сепарабельно. Рассмотрим счётную последовательность $%f_n$% ($%n\ge1$%) функционалов, образующих всюду плотное подмножество. Для каждого такого функционала рассмотрим его значения на единичной сфере, то есть на $%\{x\in X\colon||x||=1\}$%. По определению, точная верхняя грань этих значений равна норме функционала, то есть числу $%||f_n||_{X^{\ast}}$% (индекс снизу я буду опускать). В частности, на некотором векторе $%x_n$% единичной длины число $%f_n(x_n)$% по модулю должно быть не меньше $%||f_n||/2$%, то есть выполняется неравенство $%|f_n(x_n)|\ge||f_n||/2$%.

Рассмотрим теперь линейную оболочку векторов из множества $%\{x_n\colon n\ge1\}$% с рациональными коэффициентами. Это счётное множество; докажем, что оно всюду плотно в $%X$%. Допустим, что это не так. Тогда замыканием этой линейной оболочки будет замкнутое собственное подпространство в $%X$%. По теореме Хана - Банаха, существует ненулевой линейный функционал $%f\in X^{\ast}$%, равный нулю на всех элементах вида $%x_n$%. Можно при этом считать, что $%||f||=1$%.

Пользуясь тем, что функционалы вида $%f_n$% образуют всюду плотное подмножество, выберем такое $%n$%, для которого $%||f-f_n||\le1/4$%. Поскольку вектор $%x_n$% единичный, из этого вытекает, что $%|f(x_n)-f_n(x_n)|\le1/4$%. С учётом того, что $%f(x_n)=0$%, это означает, что $%|f_n(x_n)|\le1/4$%. Используя полученное выше неравенство, имеем $%||f_n||\le2|f_n(x_n)|\le1/2$%. Но тогда $%1=||f||\le||f-f_n||+||f_n||\le1/4+1/2=3/4$% -- противоречие.

Контрпример для обратного утверждения можно построить так. Возьмём $%C[0;1]$% с метрикой равномерной сходимости в качестве $%X$%. Это пространство сепарабельно, так как многочлены с рациональными коэффициентами образуют счётное всюду плотное подмножество.

Для каждой точки $%a\in[0;1]$% определим функционал $%f_a\in X^{\ast}$%, который каждой функции $%\varphi(t)\in X$% ставит в соответствие её значение в точке $%a$%, то есть $%f_a(\varphi)=\varphi(a)$%. Для любых $%a < b$% можно рассмотреть непрерывную функцию, равную $%1$% при $%x\le a$%, равную $%-1$% при $%x\ge b$% и линейную на $%[a;b]$%. Норма этой функции равна $%1$%, а значение на ней разности функционалов $%f_a-f_b$% равно двум. Отсюда следует, что $%||f_a-f_b||\ge2$% в пространстве $%X^*$%. Это значит, что имеется континуум точек пространства, удалённых друг от друга на расстояние, большее заданной константы. Сепарабельным такое пространство быть не может: беря для каждого $%a$% элемент всюду плотного множества из открытой $%1$%-окрестности функционала $%f_a$%, мы приходим к тому, что все такие элементы попарно различны.

ссылка

отвечен 19 Мар '14 23:05

изменен 19 Мар '14 23:06

Хорошее решение. Но почему-то мне все доказательства в функане кажутся искусственными. Сам, наверное, никогда бы не догадался до некоторых приемов.

(20 Дек '19 15:40) ВВД
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×794

задан
19 Мар '14 20:26

показан
940 раз

обновлен
20 Дек '19 15:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru