2
1

интеграл от 0 до 2pi dx/(cos(x)+a) (a>1) (a-? что это такое?) Задачн. Кожевников Н.И. (№ 270 зад. e^i*x=z)

задан 20 Мар '14 20:45

изменен 22 Мар '14 21:10

1

Здесь $%a$% -- некий числовой параметр, про который известно только то, что он больше единицы. Требуется вычислить интеграл при каждом допустимом значении этого параметра. Ответ должен как-то зависеть от $%a$%.

Если я правильно понимаю, $%\cos x+a$% находится в знаменателе дроби. Если так, то это выражение должно быть окружено скобками.

(20 Мар '14 23:29) falcao

я не понимаю как вычислить этот интеграл с помощью Теории Вычетов, не знаю эту тему...

(22 Мар '14 15:13) аня1

@аня1: посмотрите тогда хотя бы самые основы теории (теорема Коши о вычетах), а решение я постараюсь рассказать чуть позже.

(22 Мар '14 15:58) falcao

у меня интегральная формула коши есть в лекциях по тфкп, но я не знаю как её применять

(22 Мар '14 17:21) аня1
1

@аня1: здесь применение формулы требует некоторой "хитрости". Задача не из разряда самых простых. Попробую вскоре оформить решение.

(22 Мар '14 21:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Этот интеграл вычисляется в том числе и обычными методами, при помощи универсальной тригонометрической замены (через тангенс половинного угла), что можно использовать для контроля ответа. Но здесь в задаче речь идёт о применении методов контурного интегрирования. Поэтому рассмотрим другое решение.

Запишем интеграл в таком виде: $$I=\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\varphi}{\cos\varphi+a},$$ где $%a > 1$% -- фиксированный вещественный параметр. С учётом того, что угол меняется от 0 до $%2\pi$%, удобно ввести комплексную переменную $%z=e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$%, где точка $%z$% становится точкой единичной окружности, и по этому контуру будет далее идти интегрирование.

Прежде всего, $%dz=ie^{i\varphi}d\varphi$%, откуда $%d\varphi=-idz/z$%. Далее, ввиду того, что $%\cos\varphi=(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})/2$%, получаем $%\cos\varphi=(z+z^{-1})/2$%. Подставляя все найденные значения в интеграл, имеем $$I=-2i\oint\limits_C\frac{dz}{z^2+2az+1},$$ где интегрирование ведётся по единичной окружности $%C$%.

Рассмотрим особые точки функции, где знаменатель обращается в ноль. Для этого решаем квадратное уравнение $%z^2+2az+1=0$%. Дискриминант здесь положителен за счёт $%a > 1$%, и оба корня являются вещественными: $%z_1=-a+\sqrt{a^2-1}$% и $%z_2=-a-\sqrt{a^2-1}$%. При этом $%z_1z_2=1$% в силу теоремы Виета. Легко заметить, что $%|z_2| > 1$%, и $%|z_1| < 1$% как следствие. Поэтому точка $%z_2$% лежит вне единичного круга, и единственной особой точкой внутри нашего контура будет точка $%z_1$%, являющаяся однократным полюсом.

Нас интересует вычет функции $%f(z)=\frac1{z^2+az+1}$% в точке $%z=z_1$%. Домножаем функцию $%f(z)$% на $%z-z_1$% и рассматриваем предел полученной функции при $%z\to z_1$%. Поскольку знаменатель дроби имеет вид $%(z-z_1)(z-z_2)$%, мы получим после домножения функцию $%\frac1{z-z_2}$%, в которую подставляем число $%z=z_1$%, получая $%\frac1{z_1-z_2}=\frac1{2\sqrt{a^2-1}}$%. Это и есть вычет в единственной особой точке.

Теперь, применяя теорему Коши о вычетах, мы домножаем на число $%2\pi i$%, учитывая множитель $%-2i$% перед интегралом. Результатом будет $%\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$%, что и является ответом.

ссылка

отвечен 22 Мар '14 21:34

можно ведь этот интеграл посчитать который получился по контуру? там еще есть что то вроде 1)8π/3,2) 10π/27

(22 Мар '14 21:50) аня1

@аня1: я не понял, что Вы имеете в виду, и откуда взялись числа, которые здесь указаны. Возможно, это значения интеграла для каких-то конкретных $%a$%.

Контурный интеграл я как раз и вычислил при помощи вычетов, как было написано в условии.

(22 Мар '14 22:11) falcao

я эти значения посмотрела в задачнике Кожевникова они там написаны, наверно при каких то конкретных а, но в условии задачи не сказано про них, там три ответа почему то.

(22 Мар '14 22:15) аня1

@аня1: общий вид интеграла для произвольного $%a$% я указал, и этот ответ проверен в том числе и другими методами. Если в условии задачи есть отдельные пункты, то вполне может быть, что там будут какие-то численные значения. Этого задачника в моём распоряжении нет, поэтому я не могу сверить, что там написано.

(22 Мар '14 22:29) falcao

@аня1: я посмотрел книгу в Сети. В задаче 270 есть три совершенно независимых пункта. Ответы, не зависящие от $%a$%, относятся к пунктам задачи 1 и 2, а Ваше условие -- это пункт 3. Там указан именно тот ответ, который дан у меня в решении. А остальное относится к совсем другим задачам.

(22 Мар '14 23:17) falcao

да да да, точно. именно так, (я запамятовала)

(22 Мар '14 23:19) аня1
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,952

задан
20 Мар '14 20:45

показан
1000 раз

обновлен
22 Мар '14 23:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru