|
Подскажите, как исследовать на сходимость по определению несобственный интеграл? $$\int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x}-4x+5\sqrt{x}}?$$ задан 26 Мар '12 14:22 
Tkas |
|
Не хотелось бы рассказывать решение подробно. Идея - найти первообразную. Для этого вводим новую переменную $%t=\sqrt{x}$%. Интеграл сводится к рациональной функции (в данном случае - к простейшей дроби). После того, как первообразная найдена, надо "подставить" бесконечность. Т.е. найти предел первообразной при $%x\rightarrow \infty$%. отвечен 26 Мар '12 15:02 
DocentI Провел замену t=sqrt(x). x=t^2. dt=1/2sqrt(x). В знаменателе получилось t^4-4t^3-5t^2. Так верно?
(26 Мар '12 16:07)
Tkas
Нет, неверно. Не надо искать dt, наоборот, $%x=t^2, dx=2tdt$%. Одно t в дроби сокращается!
(26 Мар '12 17:37)
DocentI
Подскажите пожалуйста с ответом: предел t->беск(арктанг(t-2)+арктанг(1))=pi/2 + pi/4. И еще у нас есть 1/2 перед интегралом. Как вы посчитали 3pi/2 ?
(26 Мар '12 19:25)
Tkas
Почему 1/2? У меня перед интегралом 2 (от 2tdt).
(27 Мар '12 1:23)
DocentI
$$ 2 \int_1^ \infty \frac{dt}{ t^{2} - 4t + 5 } = 2 \int_1^ \infty \frac{dt}{(t ^{2} - 4t +4) + 1} = 2 \int_1^ \infty \frac{d(t-2)}{(t-2) ^{2} + 1 } = 2 \lim_{t \rightarrow \infty } (arctg(t-2) - arctg(-1)) = 2( \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} ) = 2( \frac{2 \pi }{4} + \frac{ \pi }{4} ) = \frac{3 \pi }{2} $$ Теперь верно? У меня еще вопрос: а куда исчезает +1, когда мы свернули квадратное уравнение?
(27 Мар '12 13:32)
Tkas
Все правильно. Что значит "исчезает"? В смысле после интегрирования? Так первообразная от $%\frac{1}{x^2+1}$% как раз равна $%arctg(x)$%. Без 1 это была бы другая функция.
(27 Мар '12 14:41)
DocentI
Благодарю за объяснение)
(27 Мар '12 15:33)
Tkas
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
1) Убедиться, что нет особых точек, кроме x=бесконечности. 2) Исследовать сходимость в окрестности x=бесконечности, оставив в знаменателе только главный член; для x=беск. это x.sqrt(x), вычислить полученный интеграл. отвечен 26 Мар '12 14:58 
Андрей Юрьевич В 1 нет особенности. Автор просит найти доказательство по определнию а не по свойствам.
(26 Мар '12 14:59)
DocentI
Да, невнимательно посмотрел. Откорректировал.
(26 Мар '12 15:26)
Андрей Юрьевич
|
Имеется в виду такой интеграл $$\int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x}-4x+5\sqrt{x}}?$$ Лучше вставляйте формулы прямо здесь. Интеграл сходится и равен $%3\pi /2$%
Спасибо за решение, но как вы его решили?)
Как получилось 3pi/2? В знаменателе 8 будет...