Подскажите, как исследовать на сходимость по определению несобственный интеграл?

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x}-4x+5\sqrt{x}}?$$

задан 26 Мар '12 14:22

изменен 26 Мар '12 14:38

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Имеется в виду такой интеграл $$\int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x}-4x+5\sqrt{x}}?$$ Лучше вставляйте формулы прямо здесь. Интеграл сходится и равен $%3\pi /2$%

(26 Мар '12 14:35) DocentI

Спасибо за решение, но как вы его решили?)

(26 Мар '12 14:45) Tkas

Как получилось 3pi/2? В знаменателе 8 будет...

(26 Мар '12 20:53) Tkas
10|600 символов нужно символов осталось
0

Не хотелось бы рассказывать решение подробно. Идея - найти первообразную. Для этого вводим новую переменную $%t=\sqrt{x}$%. Интеграл сводится к рациональной функции (в данном случае - к простейшей дроби). После того, как первообразная найдена, надо "подставить" бесконечность. Т.е. найти предел первообразной при $%x\rightarrow \infty$%.

ссылка

отвечен 26 Мар '12 15:02

Провел замену t=sqrt(x). x=t^2. dt=1/2sqrt(x). В знаменателе получилось t^4-4t^3-5t^2. Так верно?

(26 Мар '12 16:07) Tkas

Нет, неверно. Не надо искать dt, наоборот, $%x=t^2, dx=2tdt$%. Одно t в дроби сокращается!

(26 Мар '12 17:37) DocentI

Подскажите пожалуйста с ответом: предел t->беск(арктанг(t-2)+арктанг(1))=pi/2 + pi/4. И еще у нас есть 1/2 перед интегралом. Как вы посчитали 3pi/2 ?

(26 Мар '12 19:25) Tkas

Почему 1/2? У меня перед интегралом 2 (от 2tdt).

(27 Мар '12 1:23) DocentI

$$ 2 \int_1^ \infty \frac{dt}{ t^{2} - 4t + 5 } = 2 \int_1^ \infty \frac{dt}{(t ^{2} - 4t +4) + 1} = 2 \int_1^ \infty \frac{d(t-2)}{(t-2) ^{2} + 1 } = 2 \lim_{t \rightarrow \infty } (arctg(t-2) - arctg(-1)) = 2( \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} ) = 2( \frac{2 \pi }{4} + \frac{ \pi }{4} ) = \frac{3 \pi }{2} $$ Теперь верно? У меня еще вопрос: а куда исчезает +1, когда мы свернули квадратное уравнение?

(27 Мар '12 13:32) Tkas

Все правильно. Что значит "исчезает"? В смысле после интегрирования? Так первообразная от $%\frac{1}{x^2+1}$% как раз равна $%arctg(x)$%. Без 1 это была бы другая функция.

(27 Мар '12 14:41) DocentI

Благодарю за объяснение)

(27 Мар '12 15:33) Tkas
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0
  1. Установить точки разрыва на интервале интегрирования (их нет).
  2. Найти предел $%lim_{t\rightarrow\infty}\int_1^{t}f(x)dx$%.
  3. Если предел существует, интеграл сходится.
ссылка

отвечен 26 Мар '12 14:46

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Убедиться, что нет особых точек, кроме x=бесконечности.

2) Исследовать сходимость в окрестности x=бесконечности, оставив в знаменателе только главный член; для x=беск. это x.sqrt(x), вычислить полученный интеграл.

ссылка

отвечен 26 Мар '12 14:58

изменен 26 Мар '12 15:26

В 1 нет особенности. Автор просит найти доказательство по определнию а не по свойствам.

(26 Мар '12 14:59) DocentI

Да, невнимательно посмотрел. Откорректировал.

(26 Мар '12 15:26) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×875
×185

задан
26 Мар '12 14:22

показан
10718 раз

обновлен
27 Мар '12 15:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru