Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет более одного корня:

8x^6 - (3x+5a)^3 + 4x^2 - 6x = 10a

Как решить? Было сегодня на пробном егэ.

задан 21 Мар '14 16:09

10|600 символов нужно символов осталось
3

Этот пример (или какой-то очень близкий) на форуме уже разбирался, но ссылку найти трудно, поэтому проще рассказать заново.

Перепишем уравнение в таком виде: $%8x^6+4x^2=(3x+5a)^3+2(3x+5a)$%. Нетрудно заметить, что в обеих частях уравнения находится выражение типа "куб числа плюс удвоенное число". Введём соответствующую функцию: $%f(t)=t^3+2t$%. Уравнение, тем самым, принимает вид $%f(2x^2)=f(3x+5a)$%. От него можно перейти к равенству $%2x^2=3x+5a$%, поскольку функция $%f(t)$% монотонно возрастает, что следует из положительности её производной: $%f'(t)=3t^2+2 > 0$%.

Теперь, когда уравнение свелось к квадратному, то есть к $%2x^2-3x-5a=0$%, вопрос о количестве корней легко решается через вычисление дискриминанта. В данном случае он должен быть положителен, то есть $%D=9+40a > 0$%. Отсюда сразу получается ответ.

ссылка

отвечен 21 Мар '14 16:29

Спасибо! Как же обидно, я знал про кубы, но из-за того что "куб числа плюс УДВОЕННОЕ число" я не смог решить. Буду знать.

(21 Мар '14 23:24) Динар

Мне встречались в вариантах ЕГЭ (из того, что предлагали здесь на форуме) похожие примеры. Здесь важна сама идея монотонности. Она может быть где-то применена и в других задачах. Скажем, можно брать другие монотонные функции типа экспонент и прочего.

В данном примере основой должно было служить наблюдение, что в одном месте имеется 3x+5a, а в другом, если перенести всё в одну часть, будет 6x+10a. Такого рода совпадения редко бывают случайными, и именно из этого идея далее "раскручивается".

(21 Мар '14 23:30) falcao

Да-да-да, важно заметить. Я на этом сайте впервые, не подскажете, как здесь ориентироваться и как находить задания подобные(егэ), может разделы какие-то или теги?

(22 Мар '14 13:04) Динар

@Динар: да, "теги" здесь есть, но их могут по-разному обозначать. Иногда несколько меток используют. Если нажать на "параметр" или "егэ", то появится список, и там можно посмотреть то, что привлечёт внимание. Расположено всё в хронологическом порядке, от нового к старому. Задания того типа, о которых я говорил, были где-то летом (скорее всего, в июне). По этим данным можно поискать.

(22 Мар '14 15:00) falcao

Спасибо ещё раз.

(22 Мар '14 18:48) Динар

@Динар: сейчас я всё-таки нашёл очень похожий вопрос, который задавали летом (чисто из любопытства -- в смысле того, насколько помогает список "тегов"). Это довольно быстро получилось. На самом деле, это можно было сделать ещё проще, но я сразу не догадался. Вот ссылка.

(22 Мар '14 20:49) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931
×534
×320

задан
21 Мар '14 16:09

показан
3777 раз

обновлен
22 Мар '14 20:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru