|
Два выпуклых многоугольника вложены один в другой. Может ли у "внутреннего" периметр быть больше, чем у "внешнего"? Если внутри - треугольник, легко доказывается, что нет. Для общего случая пока не думала. Кто что скажет? Додумываю способ Анатолия. Обозначим многоугольники М1 (внутренний) и М2. Выберем сторону KL, еще не лежащую на границе M2. Продолжим соседние с ней стороны до пересечения с границей многоугольника (случай 1) или друг с другом (случай 2). В обоих случаях сторона KL будет заменена ломаной, длина которой больше длины KL. Кроме того, число сторон М1, не лежащих на на границе М2, уменьшится. Значит, процесс когда-то завершится (когда М1 превратится в М2, при этом периметр его увеличится). Надеюсь, здесь нет логических дыр. Этот способ лучше "моего", так как треугольник с вершинами на границе все равно надо еще сравнивать с М2. Еще доказательство. Обсудила вопрос с коллегами-олимпиадниками. Они предложили еще одно решение задачи. От концов каждого ребра многоугольника М1 провести перпендикуляр во внешнюю сторону. Это перпендикуляр вырежет на границе многоугольника М2 кусок, длина которого будет не меньше длины исходного ребра. Куски границ, полученные из всех ребер не пересекаются. Значит, периметр М2 больше,ем М1. Решение хорошее, но опять подходит только для многоугольников М1 (М2 может быть любой выпуклой фигурой). задан 26 Мар '12 15:04 
DocentI
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
отвечен 26 Мар '12 22:14 
Anatoliy Для треугольника у меня та же идея. Например, продолжаем одну сторону до пересечения с границей и соединяем полученую точку с третьей вершиной. Получаем новый треугольник. Но! Любой треугольник - выпуклая фигура. Если же начнем так же расширять многоугольник, может получиться невыпуклая фигура. Если продолжать по две стороны, они могут пересечься внутри многоугольника. Какая гарантия, что мы "дойдем" до его границы? В общем слово "аккуратно" меня пока смущает. Я как раз и хочу понять, как это надо делать!
(26 Мар '12 22:35)
DocentI
Я добавил в решение дополнительное разьяснение.
(27 Мар '12 14:24)
Anatoliy
Спасибо, мне Ваше решение понравилось. Я тоже переработала его по-своему (см. вопрос). Мне кажется, здесь лучше все же "следить" за числом сторон, а не вершин.
(27 Мар '12 14:28)
DocentI
|
Если эта теорема верна, то она верна для любых выпуклых фигур, а не только для многоугольников. Есть вероятность, что она уже доказана в общем случае (я, правда, не встречал).
Может, надо взять факт, доказанный для многоугольников, и применить предельный переход? Для этого надо понять, насколько точно можно приблизить границу выпуклого тела многоугольниками.
Для этого можно, например, взять точку внутри "внутренней" фигуры, провести из нее лучи с некоторым шагом по углу и рассмотреть многоугольники с вершинами в точках пересечения, а потом устремить шаг к 0. Но я имел ввиду, не была ли уже эта теорема доказана, например, методами вариационного исчисления, или дифференциальной геометрии, или ТФКП (интеграл по выпуклому контуру) и т.д.?
Понимаю. Но все эти методы требуют некоторой гладкости от границ выпуклых фигур. Кстати, я не знаю, насколько "нехорошими" они могут быть. А Вы знаете?
Могу только догадываться, что нужна кусочная дважды дифференцируемость.
Почему дважды? Разве просто кусочной гладкости недостаточно?
Выпуклость определяется знаком второй производной. Поэтому в случае дважды дифференцируемости можно фигуру определить как криволинейный многоугольник с условием на знак второй производной в параметрической записи каждой стороны.
Это, конечно, простой путь. Но вообще-то определение выпуклости не требует производной, дается через отрезки, соединяющие точки. Из таких отрезков можно построить вписанные многоугольники. Сложнее, наоборот, вписать фигуру в многоугольник.