Квадрат натурального числа х - шестизначное число, десятичная запись которого есть палиндром (то есть она одинаково читается слева направо и справа налево). Может ли х также оказаться палиндромом?

задан 22 Мар '14 18:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

Применим признак делимости на 11. Рассмотрим 6-значное число-палиндром; оно имеет вид $%\overline{abccba}$%. Его знакочередующаяся сумма цифр $%a-b+c-c+b-a$% равна нулю, то есть делится на 11. Значит, на 11 делится и само это число. Из этого можно сделать вывод, что $%x$% тоже делится на 11. При этом $%x$% обязано быть трёхзначным, и если оно является палиндромом, то имеет вид $%x=\overline{yzy}$%. По признаку делимости, $%2y-z$% кратно 11. С учётом того, что $%y$% и $%z$% цифры, это значит, что $%z=2y$% или $%2y=z+11$%, где во втором случае $%z$% нечётно.

Таких чисел немного, и их можно выписать и проверить. Числа первой "серии": 121, 242, 363, 484. Квадраты первых двух не шестизначны. Квадрат шестизначного числа, начинающегося с 3, начинается с 1, поэтому 363 не подходит, так как оканчивается на 9. По той же причине не подходит 484 (начинается с 1 или 2, а оканчивается на 6).

Вторая "серия" такова: 616, 737, 858, 979. Можно применить прямое возведение в квадрат и убедиться, что палиндромов нет, а можно воспользоваться теми же соображениями, что и выше, проверяя, что первая и последняя цифра квадрата не совпадут.

Таким образом, $%x$% не может оказаться палиндромом. При более слабом условии, если требуется только делимость на 11, есть такой пример: $%836^2=698896$%.

ссылка

отвечен 22 Мар '14 20:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,937

задан
22 Мар '14 18:43

показан
3502 раза

обновлен
22 Мар '14 20:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru