Дан равеобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Точка М середина стороны АС треугольника АВС, СН высота АВС. Описанная окружность треугольника ВСМ пересекает СН в точке К. Найти радиус описанной окружности треугольника АВС, если известно, что СК=1.

задан 23 Мар '14 12:20

изменен 23 Мар '14 12:32

Проверьте условие: точка $%K$% никак не описана.

(23 Мар '14 12:34) falcao

именно К в условии.

(23 Мар '14 12:45) Anton

@Anton: мне показалось, что точка пересечения была поначалу обозначена N вместо K. Сейчас всё нормально.

(23 Мар '14 12:54) falcao

Вам не показалось, так и было

(23 Мар '14 13:03) Anton
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%\gamma$% -- угол при вершине $%C$%. Вписанные углы $%MCK$% и $%KCB$% равны $%\gamma/2$%, поэтому равны дуги, на которые они опираются, а потому равны и стягиваемые ими хорды. Отсюда $%MK=KB$%. Точка $%K$% лежит на оси симметрии равнобедренного треугольника, откуда $%AK=KB$%. Следовательно, $%KA=KM$%, и можно провести медиану $%KL$% в треугольнике $%AKM$%, которая будет его высотой. Здесь $%L$% -- середина $%AM$%.

Из того, что $%M$% -- середина $%AC$%, следует, что $%AL=AM/2=AC/4$%, то есть $%CL=3AC/4$%. С другой стороны, $%CL=CK\cos(\gamma/2)$% из прямоугольного треугольника $%CKL$%. Таким образом, $%AC=4CL/3=4\cos(\gamma/2)/3$% с учётом $%CK=1$%.

Воспользуемся тем, что $%AC=2R\sin\beta$%, где $%R$% -- радиус описанной около $%ABC$% окружности, а $%\beta$% -- угол при вершине $%B$% (это теорема синусов). Ясно, что $%\beta=(\pi-\gamma)/2$%, откуда $%\sin\beta=\cos(\gamma/2)$%. Тем самым, $%R=\frac{AC}{2\cos(\gamma/2)}=2/3$%.

ссылка

отвечен 23 Мар '14 14:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
23 Мар '14 12:20

показан
627 раз

обновлен
23 Мар '14 14:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru