вычислить предел lim n->бескон (1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)

задан 23 Мар '14 13:20

Здесь ответом будет $%\ln 2$%, и это можно доказать разными способами. Хотелось бы уточнить, какими средствами разрешено пользоваться при доказательстве.

(23 Мар '14 13:38) falcao

если возможно как можно по проще ... как вам удобнее. спасибо

(23 Мар '14 13:43) Astema
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно взять за основу неравенства $$(1+1/n)^n < e < (1+1/n)^{n+1},$$ которые доказываются в ходе рассмотрения второго замечательного предела. После логарифмирования получается, что $%1/(n+1) < \ln(n+1)-\ln n < 1/n$%. Это позволяет оценить сумму из условия задачи как сверху, так и снизу.

Верхняя оценка получается такая: $%\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n} < \ln(n+1)-\ln n+\ln(n+2)-\ln(n+1)+\cdots+\ln(2n)-\ln(2n-1)$%. После сокращений остаётся $%\ln(2n)-\ln n=\ln2$%.

Нижняя оценка выглядит так: $%\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n} > \ln(n+2)-\ln (n+1)+\ln(n+3)-\ln(n+2)+\cdots+\ln(2n+1)-\ln(2n)$%. Здесь по тому же принципу получается $%ln(2n+1)-\ln(n+1)=\ln\frac{2n+1}{n+1}=\ln(2-\frac1{n+1})$%. При $%n\to\infty$% эта величина стремится к $%\ln2$%.

Таким образом, последовательность из условия задачи заключена между двумя последовательностями, предел каждой из которых равен $%\ln2$%. Значит, и она сама имеет такой же предел по "лемме о двух милиционерах".

ссылка

отвечен 23 Мар '14 13:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,952

задан
23 Мар '14 13:20

показан
596 раз

обновлен
23 Мар '14 13:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru