Дана система:

3x^2 + xy + y^2 = 15

9x^4 + 11(x^2)(y^2) + y^4 = 189

Мною замечено только то, что слогаемые из левой части первого уравнения возведенные во вторую степень частично представляют собой левую часть второго уравнения. (xy -> x^2 * y^2 + 10x^2y^2).

Какую идею заложили авторы?

задан 23 Мар '14 15:36

10|600 символов нужно символов осталось
2

Идея именно такая, какую Вы и назвали. Если первое уравнение записать в виде $%3x^2+y^2=15-xy$% и возвести в квадрат, то окажется, что $%9x^4+y^4+6x^2y^2=225-30xy+x^2y^2$%. Сравнивая со вторым уравнением, которое равносильно $%9x^4+y^4+6x^2y^2=189-5x^2y^2$%, приходим к уравнению $%(xy)^2-5xy+6=0$%, откуда $%xy=2$% или $%xy=3$%.

Далее рассматриваем два случая, и при этом можно учитывать только первое уравнение, так как второе будет из этого всего следовать. При $%xy=2$% получается $%3x^2+y^2=13$%. Здесь проще всего опираться на теорему Виета с учётом того, что $%3x^2\cdot y^2=3\cdot2^2=12$%.Сумма чисел равна 13, а произведение равно 12. Значит, это числа 1 и 12 (в том или в другом порядке). Возникает четыре пары $%(x;y)$%, которые будут решениями: $%(\pm1/\sqrt3;\pm2\sqrt3)$% и $%(\pm2;\pm1)$%. Знаки везде выбираются одинаковыми.

При $%xy=3$% так же точно имеем $%3x^2+y^2=12$% и $%3x^2\cdot y^2=27$%. Здесь возникают числа 3 и 9. Это даёт ещё четыре пары $%(x;y)$% такого же вида: $%(\pm1;\pm3)$% и $%(\pm\sqrt3;\pm\sqrt3)$%.

ссылка

отвечен 23 Мар '14 16:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×319

задан
23 Мар '14 15:36

показан
726 раз

обновлен
23 Мар '14 16:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru