алгебра - Применяя теорему Лагранжа о среднем значении к двум функциям

$$f\big(x\big)$$ и $$g\big(x\big)$$ на отрезке [a,b], т.е. $$ f\big(a\big) -f \big(b\big) = f' \big( \xi \big) \big(b-a\big)$$ и $$g \big(b\big)- \big(a\big) =g' \big( \xi \big) \big(b-a\big)$$ где $$ \xi \in \big(a,b\big)$$ почленным делением этих равенств получаем теорему Коши о том, что $$ \frac{f \big(b\big)-f \big(a\big) }{g \big(b\big)-g \big(a\big) } = \frac{ f' \big( \xi \big) }{g' \big( \xi \big) }$$ при некотором $$ \xi \in \big(a,b\big)$$. в чем ошибка такого рассуждения?