Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 20, а расстояние от точки пересечения высот до основания равно 9. Найти площадь треугольника.

Пробовал рассуждать исходя из подобий треугольников, содержащих и ту и ту высоту. Доказал, что синусы углов треугольника с высотой 9, равен синусу угла треугольника с полной высотой.

задан 24 Мар '14 17:04

изменен 24 Мар '14 17:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%\varphi$% -- половина угла при вершине. Отсюда половина основания равна $%20\sin\varphi$%. Рассмотрим прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен половине основания, а второй равен 9. Острый угол, лежащий против катета длиной 9, составляет 90 градусов в сумме с углом при основании. Этим же свойством обладает и угол $%\varphi$%. Следовательно, тангенс угла $%\varphi$% равен отношению катетов, то есть $%9/(20\sin\varphi)$%. Это приводит к уравнению $%20\sin^2\varphi=9\cos\varphi$%, то есть $%20(1-u^2)=9u$%, где $%u=\cos\varphi$%. Квадратное уравнение $%20u^2+9u-20=0$% имеет корни $%4/5$% и $%-5/4$%; нам подходит только первое значение, так как угол $%\varphi$% острый. Тем самым, $%\cos\varphi=4/5$%, $%\sin\varphi=3/5$%, и тогда $%\sin2\varphi=24/25$%. Осталось найти площадь по формуле $%S=\frac12\cdot20^2\cdot\frac{24}{25}=192$%.

ссылка

отвечен 24 Мар '14 20:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×760

задан
24 Мар '14 17:04

показан
618 раз

обновлен
24 Мар '14 20:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru