высшая-математика - Найти коэффициент корреляции

Пусть $%X$% -- случайная величина, равная количеству сотрудников, и $%Y$% -- случайная величина, равная количеству компьютеров в наудачу выбираемой комнате. Тогда совместное распределение векторной случайной величины $%(X;Y)$% таково: $%(2;0)$% с вероятностью $%1/4$%; $%(1;4)$% с вероятностью $%1/4$% и $%(2;2)$% с вероятностью $%1/2$%.

Величину $%X$% можно отдельно охарактеризовать так: она принимает значение $%2$% с вероятностью $%3/4$% и значение $%1$% с вероятностью $%1/4$%. Отсюда $%MX=\frac34\cdot2+\frac14\cdot1=\frac74$%. Для квадрата этой же с.в. матожидание равно $%MX^2=\frac34\cdot4+\frac14\cdot1=\frac{13}4$%. Следовательно, дисперсия составляет $%DX=MX^2-(MX)^2=\frac{13}4-\frac{49}{16}=\frac3{16}$%.

Величина $%Y$% принимает значения $%0$%, $%4$%, $%2$% с вероятностями $%1/4$%, $%1/4$%, $%1/2$% соответственно. Тогда $%MY=2$%, $%MY^2=6$%, $%DY=2$%.

Произведение $%XY$% случайных величин принимает значения $%0$%, $%4$%, $%4$% с теми же вероятностями, что и выше, поэтому $%MXY=3$%. Тогда ковариация случайных величин составляет $%cov(X,Y)=MXY-MX\cdot MY=-\frac12$%, а коэффициент корреляции равен $$r_{XY}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=-\sqrt{\frac23}=-\frac{\sqrt6}3.$$