Диагонали выпуклого четырехугольника АВСД пересекаются в точке О. Известно, что АВ = ВС = СД, АО = ДО и АС не равно ВД. Чему равно выражение угол ВАД+угол АДС?

задан 24 Мар '14 23:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь, скорее всего, есть какое-то чисто геометрическое решение с дополнительными построениями, но мне такое пока что не удалось придумать. Вот решение, основанное на вычислениях (в принципе, не слишком сложных).

Положим $%AO=DO=1$%, $%BO=x$%, $%CO=y$%, и обозначим через $%k$% косинус угла $%AOB$%. При этом косинус смежного угла $%BOC$% будет равен $%-k$%. Применим три раза теорему косинусов, вычисляя равные между собой квадраты расстояний $%AB^2=BC^2=CD^2$%. Это будут числа $%1+x^2-2kx$%; $%x^2+y^2+2kxy$%; $%1+y^2-2ky$%. Приравняем первое и третье число, откуда $%x^2-y^2=2k(x-y)$%. Из условия следует, что $%x\ne y$%, поэтому $%x+y=2k$% в результате сокращения на $%x-y$%.

Подставим $%2k=x+y$% в первое и второе выражение, приравнивая то и другое. Первое выражение равно $%1-xy$%; второе равно $%x^2+y^2+xy(x+y)$%. Следовательно, $%(x+y)^2+xy(x+y-2)=1-xy$%, что преобразуется к виду $%(x+y)^2-1+xy(x+y-1)=0$%. Здесь $%x+y-1$% выделяется в качестве общего множителя, а второй сомножитель равен $%x+y+1+xy > 0$%. Следовательно, $%x+y=1$%, то есть косинус угла $%AOB$% равен $%1/2$%, и этот угол равен $%60$% градусам. Из этой информации, с учётом того, что треугольники $%ABC$% и $%BCD$% равнобедренные, нетрудно вывести, что сумма величин углов $%BAD$% и $%ADC$% равна $%120$% градусам.

ссылка

отвечен 26 Мар '14 12:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
24 Мар '14 23:48

показан
474 раза

обновлен
26 Мар '14 12:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru