Доказать, что если циклически несократимые элементы f и g сопряжены в группе G = A*B, то l(f) = l(g). При этом, если l(f) = l(g) > 1, то элементы f и g сопряжены тогда и только тогда, когда несократимая запись одного из них является некоторой циклической перестановкой несократимой записи другого, а если l(f) = l(g) = 1, то элементы f и g сопряжены в группе G тогда и только тогда, когда они принадлежат одной и той же подгруппе A или B и сопряжены в этой подгруппе.

задан 25 Мар '14 2:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%f$%, $%g$% -- циклически несократимые элементы, сопряжённые в группе. Тогда существует сопрягающий элемент $%x\in G=A\ast B$% такой, что $%x^{-1}fx=g$%. При этом можно считать, что $%x$% является приведённым словом. Случай, когда $%f$% и $%g$% единичные, очевиден. Поэтому будем считать, что $%f\ne1$%, и тогда $%f$% как приведённое слово начинается с $%a\in A$% или $%b\in B$%. Из соображений симметрии достаточно ограничиться рассмотрением первого случая.

Мы будем доказывать утверждение из условия задачи индукцией по слоговой длине сопрягающего слова $%x$%. Если $%\ell(x)=0$%, то $%f$% и $%g$% совпадают, и всё доказано. Пусть $%\ell(x)\ge1$%. Тогда $%x$% также начинается с некоторого слога из $%A$% или $%B$%. Рассмотрим сначала случай, когда $%\ell(f)=1$%, то есть $%f=a$%. Если $%x$% начинается со слога $%b\in B$%, то слово $%x^{-1}fx$% имеет вид $%\ldots b^{-1}ab\ldots$%, являясь при этом приведённым, но не являясь циклически приведённым. Тогда, будучи равным приведённому слову $%g$%, оно должно с ним совпадать, но это противоречит циклической приведённости слова $%g$%.

Пусть теперь $%x$% начинается со слога $%a_1\in A$%. Положим $%x=a_1y$%. Слово $%x^{-1}fx$% теперь имеет вид $%y^{-1}(a_1^{-1}aa_1)y$%. В скобках стоит неединичный элемент группы $%A$%, сопряжённый элементу $%a$% в этой группе, а слово $%y$% либо пусто, либо начинается со слога из $%B$%. В последнем случае мы снова получаем приведённое, но не циклически приведённое слово, где $%a_1^{-1}aa_1$% рассматривается как единый слог $%a'\in A$%. Это приводит к точно такому же противоречию, что и выше. Значит, $%y$% пусто, и тогда $%f=a$%, $%g=a'$%. Оба элемента имеют слоговую длину 1, и они сопряжены в соответствующем свободном сомножителе (то есть в $%A$%, а в симметричном случае они были бы сопряжены в $%B$%).

Далее рассматриваем случай $%\ell(f) > 1$%. Поскольку слово $%f$% циклически приведено, слоги в нём чередуются, и если первый слог принадлежал $%A$%, то последний будет принадлежать $%B$%. Слово $%x$% может начинаться со слога, принадлежащего $%A$% или $%B$%; оба этих случая аналогичны (можно перейти от слов к обратным, с сохранением сопряжённости и прочих свойств). Поэтому будем считать, что $%x=a_1y$%, где $%a_1\in A$%, и при этом $%f=a\ldots b$%.

Рассмотрим слово $%x^{-1}fx$%, имеющее вид $%y^{-1}(a_1^{-1}a)\ldots bay$%. После объединения $%a_1^{-1}$% и $%a$% в один слог мы получим приведённое слово, если произведение этих элементов не равно 1, то есть $%a\ne a_1$%. Допустим, что имеет место именно этот случай, и тогда снова вступает в силу уже не раз использованный аргумент. А именно, получилось приведённое слово, равное $%g$%, и эти слова должны совпадать. Но то слово, которое мы только что рассмотрели, не будет циклически приведённым ни в случае пустого $%y$%, ни в случае непустого.

Таким образом, можно считать, что $%x=ay$%, и тогда $%x^{-1}fx=y^{-1}a^{-1}a\ldots bay$%, что равно $%y^{-1}(\ldots ba)y$%, где сопрягающее слов стало на букву короче, а вместо $%f=a\ldots b$% появился его циклический сдвиг $%f'=\ldots ba$%. Слоговая длина при циклическом сдвиге не меняется, и она осталась больше 1, как и была. По предположению индукции, у $%f'$% и $%g$% слоговая длина одинакова, и эти элементы суть циклические сдвиги друг друга. Отсюда вытекает такой же факт насчёт $%f$% и $%g$%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 25 Мар '14 20:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,852
×1,172

задан
25 Мар '14 2:53

показан
625 раз

обновлен
25 Мар '14 20:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru