|
Найдите наименьшее значение выражения: $$(\sqrt{1+4x^8}-2y^2+3)^2+(\sqrt{1+4y^8}-2x^2+3)^2$$ задан 25 Мар '14 19:31 
serg55 |
|
Пусть $%u$%, $%v$% -- выражения, возводимые в квадрат. Тогда $%u+v=\sqrt{1+4x^8}-2x^2+\sqrt{1+4y^8}-2y^2+6$%. Легко заметить, что $%\sqrt{1+4x^8}\ge2x^2$%: обе части этого неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно возведённому в квадрат, то есть $%1+4x^8\ge4x^4$%, что в свою очередь равносильно $%(2x^4-1)^2\ge0$%, и равенство имеет место при $%x=\pm1/\sqrt[4]2$%. Аналогичное неравенство справедливо для переменной $%y$%, откуда $%u+v\ge6$%. Значение 6 достигается при $%|x|=|y|=1/\sqrt[4]2$%. Из этого следует, что $%(u+v)^2\ge36$%, а потому $%u^2+v^2\ge(u+v)^2/2\ge18$%. Значение 18 является наименьшим, так как при указанных выше значениях переменных получается $%u=v$%, и все неравенства обращаются в равенства. отвечен 25 Мар '14 20:05 
falcao |
|
Поскольку выражение симметрично относительно переменных, целесообразно исследовать, при каких х=у это достигается. Получаем более легкую задачу: найти наим.значение выражения $%(\sqrt{1+4x^8}-2x^2+3)^2$%. Берем производную, приравниваем к нулю, получаем точки минимума $%x=+-2^{-1/4}$%. Считаем выражение при таких $%x, y =2^{-1/4}$%, получаем: наименьшее значение равно 18. Ответ 18. отвечен 25 Мар '14 20:21 
Lyudmyla @Lyudmyla: то, что минимальное значение достигается при $%x=y$%, надо обосновывать. Из общих соображений это не следует. Из того, что функция обладает симметрией, то есть $%f(x,y)=f(y,x)$%, вытекает лишь более слабый факт о том, что если $%(x_0;y_0)$% оказалась точкой минимального значения, то точка $%(y_0;x_0)$% обладает таким же свойством. Но минимум при этом может приниматься вне прямой $%x=y$%. В качестве примера можно взять что-нибудь типа $%\cos|x-y|$%.
(25 Мар '14 20:54)
falcao
|