Найдите наименьшее значение выражения: $$(\sqrt{1+4x^8}-2y^2+3)^2+(\sqrt{1+4y^8}-2x^2+3)^2$$

задан 25 Мар '14 19:31

изменен 25 Мар '14 20:19

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%u$%, $%v$% -- выражения, возводимые в квадрат. Тогда $%u+v=\sqrt{1+4x^8}-2x^2+\sqrt{1+4y^8}-2y^2+6$%. Легко заметить, что $%\sqrt{1+4x^8}\ge2x^2$%: обе части этого неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно возведённому в квадрат, то есть $%1+4x^8\ge4x^4$%, что в свою очередь равносильно $%(2x^4-1)^2\ge0$%, и равенство имеет место при $%x=\pm1/\sqrt[4]2$%.

Аналогичное неравенство справедливо для переменной $%y$%, откуда $%u+v\ge6$%. Значение 6 достигается при $%|x|=|y|=1/\sqrt[4]2$%. Из этого следует, что $%(u+v)^2\ge36$%, а потому $%u^2+v^2\ge(u+v)^2/2\ge18$%. Значение 18 является наименьшим, так как при указанных выше значениях переменных получается $%u=v$%, и все неравенства обращаются в равенства.

ссылка

отвечен 25 Мар '14 20:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку выражение симметрично относительно переменных, целесообразно исследовать, при каких х=у это достигается. Получаем более легкую задачу: найти наим.значение выражения $%(\sqrt{1+4x^8}-2x^2+3)^2$%. Берем производную, приравниваем к нулю, получаем точки минимума $%x=+-2^{-1/4}$%. Считаем выражение при таких $%x, y =2^{-1/4}$%, получаем: наименьшее значение равно 18. Ответ 18.

ссылка

отвечен 25 Мар '14 20:21

@Lyudmyla: то, что минимальное значение достигается при $%x=y$%, надо обосновывать. Из общих соображений это не следует. Из того, что функция обладает симметрией, то есть $%f(x,y)=f(y,x)$%, вытекает лишь более слабый факт о том, что если $%(x_0;y_0)$% оказалась точкой минимального значения, то точка $%(y_0;x_0)$% обладает таким же свойством. Но минимум при этом может приниматься вне прямой $%x=y$%. В качестве примера можно взять что-нибудь типа $%\cos|x-y|$%.

(25 Мар '14 20:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,937

задан
25 Мар '14 19:31

показан
3903 раза

обновлен
25 Мар '14 20:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru