Задача по геометрии 8 класс

Построить треугольник по стороне, углу и разнице квадратов двух других

задан 25 Мар '14 21:01

изменен 26 Мар '14 1:57

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для 8-го класса эта задача выглядит, на мой взгляд, несколько сложновато.

Пусть дана сторона треугольника $%c$%, противолежащий угол $%\gamma$%, а также разность квадратов $%d=a^2-b^2$% двух других сторон. Для определённости будем считать, что $%a\ge b$%. Предположим, что треугольник $%ABC$% с требуемыми свойствами построен. Опустим из точки $%C$% высоту, основание которой обозначим через $%K$%. Рассмотрим для начала случай, когда основание высоты принадлежит отрезку $%AB$%, и пусть точка $%K$% делит этот отрезок на части длиной $%AK=u$% и $%KB=v$%. Нам известна сумма этих чисел $%u+v=c$%. Применяя теорему Пифагора к треугольникам $%ACK$% и $%BCK$%, приходим к равенствам $%a^2-u^2=h^2=b^2-v^2$%, где $%h$% -- длина высоты. Из этого следует равенство $%u^2-v^2=a^2-b^2=d$%, то есть нам известна разность квадратов чисел $%u$% и $%v$%. Разделив её на сумму этих же чисел, находим разность: $%u-v=d/c$%. Из двух уравнений для суммы и разности двух чисел находим сами эти числа: $%u=(c+d/c)/2$% и $%v=(c-d/c)/2$%. При $%c^2\ge d$% вторая величина оказывается неотрицательной, что соответствует случаю нахождения точки $%K$% в пределах отрезка $%AB$%. Это условие равносильно тому, что угол при вершине $%B$% является острым или прямым. При этих ограничениях имеет место описанная выше ситуация, и тогда остаётся построить отрезки длиной $%c$% и $%d/c$%, и уже по ним найти отрезки длиной $%u$%, $%v$%, определяя местоположение точки $%K$%.

Отрезок длиной $%d/c$% строится стандартно, с использованием единичного отрезка (который в задачах на построение всегда задан) и с применением подобия треугольников.

Когда точка $%K$% построена, мы проводим через неё перпендикуляр, на котором лежит точка $%C$%, местоположение которой надо определить. Для этого надо сначала построить какую-нибудь точку $%C'$%, для которой величина угла $%AC'B$% равна $%\gamma$%. Сделать это несложно: проводим луч через точку $%A$%, пересекаем его прямой, образующей с ним угол $%\gamma$%, и затем проводим через $%B$% прямую, параллельную только что построенной. Она пересечёт луч, проведённый нами в начале, в точке $%C'$%, которую надо было построить.

Теперь описываем окружность около треугольника $%ABC'$%, и по свойству вписанных углов, для всякой точки $%C$% дуги $%AB$%, содержащей точку $%C'$%, величина угла $%ACB$% будет равна $%\gamma$%. Останется найти точку пересечения перпендикуляра, построенного выше, проходящего через $%K$%, с дугой окружности. В итоге треугольник с нужными свойствами окажется построен.

Теперь осталось охватить случай, когда $%c^2 < d$%. В этом случае угол при вершине $%B$% будет тупым, и основание высоты будет находиться на продолжении луча $%AB$% за точку $%B$%. Для этого случая будет справедливо всё сказанное выше с заменой $%v$% на $%-v$%.

ссылка

отвечен 25 Мар '14 21:36

огромное спасибо)

(25 Мар '14 23:11) Настя11
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025

задан
25 Мар '14 21:01

показан
1354 раза

обновлен
25 Мар '14 23:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru