Подскажите, как исследовать на сходимость интеграл от 0 до +бесконечности: (arctg(x)/(x*(x(1-4x^2)^2)^1/5))dx

задан 26 Мар '14 12:02

изменен 26 Мар '14 12:10

С чего начать решение?

(26 Мар '14 12:02) Katrin
1

Хотелось бы сначала уточнить вид интеграла. Имеется в виду это? $$\int\limits_0^{\infty}\frac{\arctan x}{x(x(1-4x^2)^2)^{1/5}}dx$$

(26 Мар '14 12:11) falcao

Да, такой вид. Только в условии корень в степени 5 из (x(1-4x^2)^2). Это всё равно что степень 1/5...(x(1-4x^2)^2)^(1/5)

(26 Мар '14 12:18) Katrin
1

Корень 5-й степени из положительного числа -- это то же самое, что степень этого числа с показателем 1/5. Сейчас напишу, как исследовать этот интеграл.

(26 Мар '14 12:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь имеется несколько особых точек, вблизи которых надо исследовать несобственный интеграл на сходимость. Это $%x=0$%, $%x=1/2$% и $%x=\infty$%.

На бесконечности арктангенс стремится к $%\pi/2$%, а выражение в знаменателе подобно $%x^2$% (предел отношения равен 1). Следовательно, интеграл будет вести себя так же, как $%\int^{\infty}dx/x^2$%, а такой интеграл сходится.

Вблизи точки $%x=0$% отношение $%\arctan(x)/x$% стремится к 1, и то же для $%1-4x^2$%. Поэтому функция под знаком интеграла будет подобна $%1/x^{1/5}$%. Для $%\int_0x^{-1/5}dx$% первообразная равна $%kx^{4/5}$%, и её предел при $%x\to0$% конечен.

Вблизи точки $%x=1/2$%, с учётом $%1-4x^2=(1-2x)(1+2x)$%, под знаком интеграла получается функция, подобная $%1/(1-2x)^{2/5}$% с точностью до постоянного множителя. После линейной замены переменной вида $%y=1-2x$% получается интеграл типа $%\int y^{-2/5}dy$%, который, как и предыдущий, сходится вблизи нуля.

Таким образом, этот несобственный интеграл является сходящимся.

ссылка

отвечен 26 Мар '14 12:52

большое спасибо

(26 Мар '14 12:56) Katrin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×289

задан
26 Мар '14 12:02

показан
2571 раз

обновлен
26 Мар '14 12:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru