В треугольник $$ABC$$ вписана большая окружность , и еще три так что они касаются большей окружности (так же внутри треугольника) , найдите радиус большой окружности, если радиусы соответственно маленьких равны $$r_{1};r_{2};r_{3}$$ Можно идею решения

задан 26 Мар '14 14:46

изменен 27 Мар '14 0:20

Deleted's gravatar image


126

@parol: здесь понятно, что имеется в виду, но желательно чуть откорректировать словесную формулировку. Я так понимаю, что каждая из трёх дополнительных окружностей касается вписанной окружности с внешней стороны, и она вписана в один из углов треугольника (а не в сам треугольник).

(26 Мар '14 18:16) falcao

да именно так

(26 Мар '14 18:20) parol
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала ответ к задаче: $%r=\sqrt{r_1r_2}+\sqrt{r_2r_3}+\sqrt{r_3r_1}$%.

Судя по тому, что он имеет красивую форму, должен быть и какой-то хороший способ решения. Я исходил из вычислений, которые выглядели сравнительно громоздко, но в конце всё упростилось.

Прежде всего, нетрудно найти расстояние между проекциями центров большой окружности и одной из маленьких на сторону. Там возникает прямоугольная трапеция с основаниями $%r$% и $%r_1$%, боковая сторона которой равна $%r+r_1$%. Пользуясь теоремой Пифагора, можно найти вторую боковую сторону: это будет $%2\sqrt{rr_1}$%.

Далее можно выразить длину отрезка касательной, проведённой из вершины к ближайшей из маленьких окружностей. При этом используется подобие прямоугольных треугольников. Отношение этого отрезка длиной $%x_1$% к найденному выше отрезку длиной $%2\sqrt{rr_1}$% будет таким же, как и отношение $%r_1$% к $%r-r_1$%. Отсюда $%x_i=\frac{2r_i\sqrt{rr_i}}{r-r_i}$%.

Через эти величины выражаются длины всех сторон, а также полупериметр. После этого, пользуясь формулой $%S=pr$%, возведённой в квадрат, а также формулой Герона, записываем уравнение $%(p-a)(p-b)(p-c)=pr^2$%, подставляя в него то, что было найдено выше.

Уравнение имеет такой вид: $%8r^2\sqrt{rr_1r_2r_3}=p(r-r_1)(r-r_2)(r-r_3)$%. Оно упрощается далее до квадратного уравнения относительно $%r$% в результате вычислений, и оказывается, что это уравнение обладает двумя корнями. Один из них был указан в самом начале, а второй равен $%\frac{\sqrt{r_1r_2r_3}}{\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2}+\sqrt{r_3}}$%. Этот корень отбрасывается в результате анализа, потому что должны выполняться неравенства $%r > r_i$% для всех трёх окружностей, но это приводит к противоречию с неравенством и среднем.

Есть ещё одна идея решения, основанная на тригонометрических тождествах. То равенство, которое было указано в ответе, можно получить как следствие тождества $$\tan\frac{\pi-\alpha}4\tan\frac{\pi-\beta}4+\tan\frac{\pi-\beta}4\tan\frac{\pi-\gamma}4+\tan\frac{\pi-\gamma}4\tan\frac{\pi-\alpha}4=1.$$ Могут быть и другие вычислительные способы (особенно если вид ответа уже найден), но интересно было бы отыскать какое-то красивое решение.

ссылка

отвечен 27 Мар '14 2:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,937
×3,025
×545
×258

задан
26 Мар '14 14:46

показан
1099 раз

обновлен
27 Мар '14 2:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru