Вычислить предел

Если это задача на двойной предел (что часто обозначают в виде $%(x;y)\to(0;0)$%), то у рассматриваемой функции он равен нулю. Для любого $%\varepsilon > 0$% можно рассмотреть окрестность точки $%(0;0)$% с условием $%|y| < \varepsilon/2$%. Значения по $%x$% можно не ограничивать, а можно для симметрии наложить такие же. Тогда для любой точки $%(x;y)$% рассматриваемой окрестности, кроме точки $%(0;0)$%, будет справедливо неравенство $%|f(x;y)|=|y|\cdot|1-\cos(1/x)|\le2|y| < \varepsilon$% за счёт того, что косинус принимает значения от $%-1$% до $%1$%, откуда $%0\le1-\cos(1/x)\le2$%.

Что касается повторных пределов, то с ними дело обстоит так. Если сначала задать фиксированное $%x\ne0$% и устремить $%y$% к нулю, то пределом будет, очевидно, ноль. В общем случае такой предел, если он существует, может зависеть от $%x$%, но в данном случае он получается один и тот же. Таким образом, повторный предел вида $%\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f(x,y)$% существует и равен нулю.

Если поменять порядок следования пределов, то есть рассмотреть повторный предел вида $%\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f(x,y)$%, то оказывается, что при любом $%y\ne0$% "внутренний" предел не существует, так как функция $%\cos(1/x)$% не имеет предела при $%x\to0$%. Поэтому второй из повторных пределов не существует. Если бы он существовал, то его значение совпадало бы со значением двойного предела.