Исследовать на непрерывность функцию: U(x,y)=((x^2)*y)/((x^4)+(y^2))

задан 26 Мар '14 18:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

В всех точках, кроме $%(x;y)=(0;0)$%, функция непрерывна, что следует из общих фактов (типа теорем о непрерывности суммы, произведения и частного). В последнем случае нужно, чтобы не происходило деления на ноль, что в данном примере бывает лишь при нулевых $%x$% и $%y$%.

Покажем, что данная функция, значение которой в нуле не определено, не будет являться непрерывной в нуле, даже если её доопределить. Для этого достаточно рассмотреть несколько случаев, когда величины $%x$% и $%y$% стремятся к нулю, но по-разному, с разной "скоростью". И убедиться в том, что разным случаям может соответствовать разное значение предела. Функция, как было сказано, в нуле не определена, но бывает так, что её удаётся доопределить по непрерывности, и тогда все рассматриваемые значения пределов должны с этим значением совпадать.

Итак, рассмотрим случай $%x=y\to0$%. Функция при этом принимает вид $%x^3/(x^4+x^2)$%, то есть $%x/(1+x^2)$%, что стремится к нулю. Если же мы положим $%y=x^2$% и устремим $%x$% к нулю, то функция будет равна $%x^4/(2x^4)=1/2$%. Значение предела будет уже другое. Значит, функцию в нуле нельзя доопределить по непрерывности.

ссылка

отвечен 26 Мар '14 19:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×596
×114

задан
26 Мар '14 18:10

показан
663 раза

обновлен
26 Мар '14 19:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru