Колины часы идут абсолютно точно, но минутная и часовая стрелки на них выглядят одинаково. Сколько раз между полуночью и полуднем по этим часам нельзя определить время?

задан 26 Мар '14 18:45

закрыт 30 Мар '14 10:05

Expert's gravatar image


15718

Зачем Вы убрали условие? После этого стало неясно, на что здесь даётся ответ.

(27 Мар '14 12:37) falcao

@Peron_god: я восстановил условие задачи, но Вы снова зачем-то его убрали, не объяснив причину. Я воспринимаю это как проявление неуважения к отвечающему. Ответ превращается в бессмыслицу, так как непонятно, на что он даётся. Прошу восстановить текст условия. В противном случае я буду обращаться к модераторам, чтобы они навели порядок.

(29 Мар '14 22:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - Expert 30 Мар '14 10:05

2

Пусть момент времени между полуночью и полуднем составляет $%x$% часов $%y$% минут. При этом $%0\le x\le11$% -- целое число, $%0\le y < 60$% -- действительное число.

Часовая стрелка за это время (прошедшее после полуночи) повернулась на угол $%30x+y/2$% градусов. Множитель 30 указывает на то, что одному часу соответствует 1/12 часть циферблата, то есть 360/12=30 градусов. Минутная стрелка за одну минуту проходит угол величиной в 360/60=6 градусов, а часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, поэтому коэффициент при $%y$% равен 6/12=1/2. Соответственно, минутная стрелка повернётся на угол $%6y$% градусов.

Предположим, что этот момент времени можно спутать с другим моментом времени, когда прошло $%a$% часов $%b$% минут, где $%0\le a\le11$% целое, $%0\le b < 60$%. При этом $%a\ne x$% или $%b\ne y$%. Совпадение положений часовой стрелки для первого момента времени с положением минутной стрелки для второго момента времени означает, что имеет место равенство $%30x+y/2=6b$%. Совпадение положений двух других стрелок означает, что $%6y=30a+b/2$%.

Решая систему из двух линейных уравнений относительно неизвестных $%y$% и $%b$%, приходим к таким равенствам: $%y=\frac{60}{143}(x+12a)$% и $%b=\frac{60}{143}(12x+a)$%. Заметим, что оба числа неотрицательны. Для того, чтобы обе величины были меньше 60, достаточно исключить случай $%x=a=11$%, когда обе эти переменные принимают максимальное значение.

Заметим, что при $%x=a$% получается $%y=b=\frac{60}{11}x$%. Момент времени тот же самый, поэтому должно быть $%x\ne a$%. Таким образом, всё задаётся (упорядоченной) парой различных целых чисел от 0 до 11 включительно. Число $%x$% можно задать 12 способами, а число $%a\ne x$% можно задать 11 способами. По правилу произведения, получается $%12\cdot11=132$% раза, когда момент времени определить нельзя. Все такие случаи разбиты на пары. Скажем, при $%x=0$%, $%a=1$% наши формулы дают $%y=\frac{720}{143}$% и $%b=\frac{60}{143}$%. Это значит, что каждая из двух ситуаций: 0 часов $%\frac{720}{143}\approx5,03496...$% минут и 1 час $%\frac{60}{143}\approx0,41958...$% минут, может быть спутана с другой. Иными словами, одной неупорядоченной паре соответствует два "спорных" момента времени, то есть всего их за половину суток будет $%132$%.

ссылка

отвечен 27 Мар '14 0:43

Маленькое дополнение к ответу @falcao. В условии задачи не сказано, есть ли на часах секундная стрелка. Скорее всего, подразумевается, что ее нет, но просто ради интереса решил задачу с секундной стрелкой.
Рассмотрим величину $%d=60|y-b|$% - кол-во секунд, на которое отличаются рассматриваемые моменты времени. $$d=60\left|{60\over143}(x+12a)-{60\over143}(12x+a)\right|={3600\over13}|x-a|=277|x-a|-{|x-a|\over13}$$ $%|x-a|$% - целое число от 1 до 11, ни при каком из его значений $%d$% не кратно 60 с точностью до 1. Следовательно, на часах с секундной стрелкой всегда можно определить время.

(29 Мар '14 22:12) chameleon

@chameleon: с секундной стрелкой, судя по всему, всё можно восстановить, но здесь есть ещё вот какой момент. Допустим, $%x$% и $%a$% отличаются на 6 (скажем, x=1, a=7). Для этих моментов времени по формулам подбираются значения для минут, то есть y, b. Из равенства для d с модулем мы можем понять, что |x-a|=6, но при этом не ясно, что x, и где a. Если их поменять местами, то возникнет неоднозначность.

(29 Мар '14 23:30) falcao

А зачем их искать? Из вашего решения видно: $$x\in\mathbb{Z}$$ $$a\in\mathbb{Z}$$ $$0\le x\le11$$ $$0\le a\le11$$ Ни при одном из этих значений секундные стрелки не совпадают. Проверял перебором.

(30 Мар '14 1:27) chameleon

@chameleon: я не сразу понял логику рассуждения. Мне сначала показалось, что по известному нам значению $%d$% предлагается восстановить $%x$% и $%a$% при помощи формулы. Но Вы, как я сейчас понял, исходите из того, что количество секунд для всех рассматриваемых моментов разное (что проверено перебором), и по этой причине все моменты времени можно в принципе различить.

(30 Мар '14 1:36) falcao

Да, именно так

(30 Мар '14 1:40) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×470

задан
26 Мар '14 18:45

показан
909 раз

обновлен
30 Мар '14 1:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru