теория-вероятности - Полиномиальна схема

Зафиксируем 10 мест из 15, на которых могут появиться белые шары. Это можно сделать $%C_{15}^{10}=C_{15}^5$% способами. Вероятность появления белого шара на данном месте при схеме выбора с возвращением равна $%\frac{10}{15}=\frac23$%. Вероятность того, что на заданном месте появится не белый шар, равна $%\frac13$%. Поэтому ответом на первый вопрос будет число $$C_{15}^5\left(\frac23\right)^{10}\left(\frac13\right)^5\approx0,214.$$

Для синих шаров по тому же принципу получится $$C_{15}^2\left(\frac2{15}\right)^2\left(\frac{13}{15}\right)^{13}\approx0,290,$$ и для красных шаров ответ будет равен $$C_{15}^3\left(\frac15\right)^3\left(\frac45\right)^{12}\approx0,250.$$

Можно также дать ответ на отдельный вопрос: с какой вероятностью окажется так, что белый шар зафиксируют 10 раз, синий шар 2 раза, и красный шар 3 раза? Имеется в виду, что всё это будет наблюдаться вместе, а не по отдельности. Тогда число способов распределить на 15 местах 10 белых, 2 синих и 3 красных находится по формуле $%\frac{15!}{10!2!3!}$%, и вероятность события окажется равна $$\frac{15!}{10!2!3!}\left({\frac23}\right)^{10}\left(\frac2{15}\right)^{2}\left(\frac15\right)^{3}\approx0,074.$$