Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, на какие слагаемые можно разложить ряд, n меняется от -бесконечности, до +бесконечности. Ряд надо представить в виде суммы двух рядов у одного n меняется от -бесконечности до -1, у другого от 1 до +бесконечности. (^ - степень)

Σ(а^n + ib^n)*e^iϕn=

Спасибо.

задан 27 Мар '14 20:56

Любой ряд с суммированием от $%-\infty$% до $%+\infty$% можно представить в виде суммы двух таких рядов, о которых Вы говорите (то есть рядов в каком-то смысле "обычных"). Один ряд можно записать как $%a_1+a_2+\cdots$%, а второй как $%a_0+a_{-1}+a_{-2}+\cdots$%. Это общая процедура, и она от специфики ряда не зависит.

(27 Мар '14 21:08) falcao

Я имею ввиду, как будут в общем виде выглядеть члены рядов при таком разложении комплексных слагаемых? Если n отрицательно, то какой вид? Применима ли здесь теория разложения рядов Лорана? Если да, то для отрицательного n первый множитель содержит знак+, а е в отрицательной степени, для положительного n: первый множитель со знаком -, а e в положительной степени? Т.е. некая симметрия.

(27 Мар '14 21:33) pda

Я не уверен в том, что этот двойной ряд вообще будет сходящимся -- кроме каких-то "вырожденных" случаев типа $%a=b=0$%. Как возникло само это выражение, в результате чего?

(27 Мар '14 22:15) falcao

Ой, не правильно написала, в скобках n нижний показатель, а не степенной. Т.е. возможно ли такое разложение? если да, то на основании какой теории?

Σ(an+ibn)e^iϕn = Σ(an-ibn)e^iϕn +Σ(an+ibn)*e^-iϕn ряды изменяются -∞ до ∞; 1 до ∞; -∞ до -1

(27 Мар '14 22:26) pda

Это я пытаюсь получить вид обратного преобразования Фурье (дискретного), если в прямую сторону результат преобразования - комплексная функция.

(27 Мар '14 23:06) pda

Если $%a_n$% и $%b_n$% -- это просто какие-то числа, то от их специфики зависит, сходится ли ряд (это как и с обычными рядами). Никакой теории тут не надо -- в крайнем случае, можно применить какие-то признаки сходимости рядов. Единственное, что можно попытаться сделать -- это слегка упростить само выражение. Давайте для начала уточним ещё раз его вид. Вот как я его понимаю: $$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}(a_n+ib_n)e^{in\varphi}.$$ Если так, то можно предложить какое-нибудь упрощение.

(27 Мар '14 23:08) falcao

Да, это его вид. an и bn тоже функции. Но здесь мы абстрагируемся от их содержания, рассматриваем общий вид. Пытаюсь в ряде вычленить формулы Эйлера, а потом результат записать в тригонометрической форме.

(28 Мар '14 0:36) pda
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

Единственное преобразование, которое здесь мне видится, это группировка членов. Оставляя отдельно нулевой член, то есть $%a_0+ib_0$%, мы для каждого $%n\ge1$% группируем члены с номерами $%n$% и $%-n$%. Получается $%(a_n+ib_n)(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)+(a_{-n}+ib_{-n})(\cos n\varphi-i\sin n\varphi)$%. Действительная часть при этом равна $%(a_{-n}+a_{n})\cos n\varphi+(b_{-n}-b_n)\sin n\varphi$%. Мнимая часть равна $%(b_{n}+b_{-n})\cos n\varphi+(a_n-a_{-n})\sin n\varphi$%. Возможны какие-то дальнейшие преобразования, но их преимущество не вполне ясно. Так или иначе, ряд можно переписать в виде суммирования по $%n\ge1$%, учитывая симметрию между $%e^{n\varphi}$% и $%e^{-n\varphi}$%. Не вижу, как можно "выжать" что-то ещё.

ссылка

отвечен 28 Мар '14 5:21

Спасибо, огромное. Я делала также, но в итоге ряд Фурье не могла получить. Но, сейчас обнаружила в чем моя ошибка. Спасибо еще раз. Можно спросить: Как Вы печатаете формулы в таком виде?

(28 Мар '14 9:30) pda

Здесь редактор формул создан на основе $%\TeX$%'а с небольшими видоизменениями. Основные команды почти такие же, только формулы окружены "скобками" вида $%, а не просто "долларовыми". Те формулы, которые выносятся в отдельную строку, окружены двойными "долларовыми" скобками.

(28 Мар '14 9:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×801

задан
27 Мар '14 20:56

показан
560 раз

обновлен
28 Мар '14 9:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru