|
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень. $$ 40x+ \frac{32}{ \sqrt{ x^{2} +16 } } = a\sqrt{ x^{2} +16 } $$ Есть указание, что решать нужно методом тригонометрической подстановки. Я ее в упор не увижу, есть только мысль, что нужно использовать дополнительный угол. задан 27 Мар '14 21:36 
Badymes |
|
Да, можно решать при помощи тригонометрической подстановки. Поскольку функция тангенс на интервале $%(-\pi/2;\pi/2)$% принимает все действительные значения, число $%x$% можно представить в виде $%x=4{\mathop{\rm tg\,}}t$%. Ясно, что $%\sqrt{x^2+16}=4\sqrt{{\mathop{\rm tg^2t}}+1}=\frac4{\cos t}$% (с учётом положительности значений косинуса на выбранном интервале). Получается $%160{\mathop{\rm tg\,}}t+8\cos t=\frac{4a}{\cos t}$%. Умножим уравнение на $%\cos t\ne0$% и разделим на $%4$%. Получится, что $%a=40\sin t+2\cos^2t$%, и тогда достаточно найти множество значений функции из правой части. Её удобно выразить через $%y=\sin t\in(-1;1)$%, то есть на этом интервале достаточно найти множество значений функции $%40y+2-2y^2=-2(y^2-20y-1)$%. Координата вершины параболы равна $%10$%, поэтому на рассматриваемом интервале квадратичная функция монотонна. Рассматривая значения на концах интервала, замечаем, что множество значений функции равно $%(-40;40)$%. Именно при таких $%a$% уравнение из условия будет иметь хотя бы один корень. Можно решать и без тригонометрии, выражая $%a$% через $%x$% в исходном уравнении и находя множество значений функции, зависящей от $%x$%. При помощи производной можно убедиться в том, что функция возрастает, и тогда достаточно будет понять, каковы её значения на бесконечности. Получается то же самое. отвечен 27 Мар '14 22:08 
falcao Спасибо! Все поняла, очень хитро. Только концы еще надо включить, судя по ответу, но не суть.
(27 Мар '14 22:42)
Badymes
Нет, концы там не должны принадлежать. При $%a=\pm40$% у уравнения нет решений.
(27 Мар '14 23:02)
falcao
Почему вы так думаете? Подстановка предполагает, что нет, но этот случай мы должны обязательно рассмотреть отдельно, и решения вполне могут быть?
(28 Мар '14 0:19)
Badymes
Подстановка этого не предполагает. Число $%a$% считается произвольным, и на его значения не налагается никаких ограничений. А решение $%x$% мы представляем в виде тангенса, что всегда возможно, так как тангенс принимает все действительные значения. Без использования подстановки, кстати, получается то же самое: уравнение записывается как $%f(x)=a$%, и функция $%f(x)$% при этом возрастает, принимая все значения из $%(-40;40)$%. "Крайние" значения при этом не достигаются: это предельные значения на бесконечности.
(28 Мар '14 4:42)
falcao
|