тригонометрия - Найти все целые корни уравнения

Выражение под знаком косинуса кратно $%2\pi$%. Это значит, что выражение без учёта множителя $%\pi/8$% кратно $%16$%. Рассмотрим уравнение $%\sqrt{9x^2+160x+800}=3x+16k$%, которое нужно решить в целых числах. Возведём обе части в квадрат, замечая, что $%3x+16k\ge0$%. После упрощений получается $%5x+25=(3x+8k)k$%. Представляя это равенство в виде $%(5-3k)x=8k^2-25$%, замечаем, что $%x\ne0$%, и $%8k^2-25$% делится нацело на $%3k-5$%. Разделим с остатком один многочлен на другой, умножая для удобства первый из многочленов на 9. Получится $%9(8k^2-25)=(3k-5)(24k+40)-25$%, откуда следует, что $%25$% делится на $%3k-5$%.

Целочисленные делители числа $%25$% равны $%\pm1$%, $%\pm5$%, $%\pm25$%. Проверяя каждый из этих случаев, имеем $%3k\in\{6;4;10;0;30;-20\}$%. Числа, не кратные трём, отбрасываем. Получается три возможных значения: $%k\in\{2;0;10\}$%. Согласно формуле $%(5-3k)x=8k^2-25$%, им соответствуют значения $%x\in\{-7;-5;-31\}$%. Условию $%3x+16k\ge0$% удовлетворяют первая и третья пара, а вторая не удовлетворяет. Таким образом, целочисленных корней уравнения имеется два: $%x\in\{-31;-7\}$%.