cos( П/8 ( 3x - sqrt(9x^2 + 160x + 800)))=1

задан 28 Мар '14 0:08

изменен 28 Мар '14 1:35

10|600 символов нужно символов осталось
3

Выражение под знаком косинуса кратно $%2\pi$%. Это значит, что выражение без учёта множителя $%\pi/8$% кратно $%16$%. Рассмотрим уравнение $%\sqrt{9x^2+160x+800}=3x+16k$%, которое нужно решить в целых числах. Возведём обе части в квадрат, замечая, что $%3x+16k\ge0$%. После упрощений получается $%5x+25=(3x+8k)k$%. Представляя это равенство в виде $%(5-3k)x=8k^2-25$%, замечаем, что $%x\ne0$%, и $%8k^2-25$% делится нацело на $%3k-5$%. Разделим с остатком один многочлен на другой, умножая для удобства первый из многочленов на 9. Получится $%9(8k^2-25)=(3k-5)(24k+40)-25$%, откуда следует, что $%25$% делится на $%3k-5$%.

Целочисленные делители числа $%25$% равны $%\pm1$%, $%\pm5$%, $%\pm25$%. Проверяя каждый из этих случаев, имеем $%3k\in\{6;4;10;0;30;-20\}$%. Числа, не кратные трём, отбрасываем. Получается три возможных значения: $%k\in\{2;0;10\}$%. Согласно формуле $%(5-3k)x=8k^2-25$%, им соответствуют значения $%x\in\{-7;-5;-31\}$%. Условию $%3x+16k\ge0$% удовлетворяют первая и третья пара, а вторая не удовлетворяет. Таким образом, целочисленных корней уравнения имеется два: $%x\in\{-31;-7\}$%.

ссылка

отвечен 28 Мар '14 6:19

уточните пж откуда взялось (24К+40)-25

(13 Фев '19 18:13) Polly007

@Polly007: многочлен 9(8k^2-25) разделили с остатком на двучлен 3k-5. Нетрудно выполнить такое деление "столбиком", проверяя, что частное будет равно 24k+40, а остаток равен -25.

Можно вместо этого заметить, что (3k-5)(3k+5)=9k^2-25, а потом обе части домножить на 8, откуда будет следовать то же самое.

(13 Фев '19 22:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947

задан
28 Мар '14 0:08

показан
1747 раз

обновлен
13 Фев '19 22:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru