12x/sqr(x^2-1)>35-12x

задан 28 Мар '14 11:25

Под sqr понимается квадратный корень (square root), или возведение в квадрат (square)?

(28 Мар '14 16:10) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем исходить из версии, что имелось в виду $$\frac{12x}{\sqrt{x^2-1}} > 35-12x.$$

Прежде всего, $%|x| > 1$%, поскольку выражение $%x^2-1$% стоит в знаменателе под знаком квадратного корня.

Рассмотрим случай, когда при этих условиях число в правой части неравенства отрицательно, то есть $%x > 35/12$%. Все такие $%x$% входят в область определения неравенства, и значение левой части положительно. Значит, все эти $%x$% входят в множество решений.

Далее рассматриваем случай, когда $%x\le35/12$%. Заметим, что левая часть неравенства принимает положительное значение. С учётом этого, а также с учётом упомянутых выше ограничений, $%x\in(1;35/12]$%. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому верным будет неравенство, получаемое возведением в квадрат обеих частей: $$\frac{144x^2}{x^2-1} > (35-12x)^2.$$ На рассматриваемом подмножестве оно будет равносильно исходному неравенству. Домножая на число $%x^2-1 > 0$%, приходим к равносильному условию $%(12x-35)^2(x^2-1)-144x^2 < 0$%. Раскрытие скобок даёт $%144x^4-840x^3+937x^2+840x-1225 < 0$%.

Один из способов решения может состоять в подборе рациональных корней многочлена 4-й степени. Но корни там оказываются дробными, и этот способ ведёт к довольно длинным вычислениям. Поступим по-другому, преобразуя неравенство к виду $%144x^4-840x^3 < -937x^2-840x+1225$%, дополняя выражение в левой части до полного квадрата, то есть прибавляя $%1225x^2$% к обеим частям: $%(12x^2-35)^2 < 288x^2-840x+1225=24(12x^2-35)+1225$%. Теперь понятно, что удобно снова выделить полный квадрат, чтобы из $%(12x^2-35)^2-24(12x^2-35x) < 1225$% получилось $%(12x^2-35x-12)^2 < 37^2$%.

Теперь неравенство раскладывается на множители: $%(12x^2-35x+25)(12x^2-35x-49) < 0$%, где корнями первого трёхчлена являются числа $%x=5/4$% и $%x=5/3$%, а значения второго сомножителя отрицательны на рассматриваемом нами подмножестве $%x\in(1;35/12]$% ввиду $%x(35-12x)\ge0 > -49$%. Таким образом, мы получаем неравенство $%(4x-5)(3x-5) > 0$%, решениями которого будут все числа, кроме чисел отрезка $%[5/4;5/3]$%. Удаляя из нашего подмножества такие числа, приходим к условию $%x\in(1;5/4)\cup(5/3;35/12]$%. Это множество решений неравенства для второго случая. Объединяя его с множеством решений для первого случая, где было $%x > 35/12$%, окончательно имеем $%x\in(1;5/4)\cup(5/3;\infty)$%.

ссылка

отвечен 28 Мар '14 16:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×312

задан
28 Мар '14 11:25

показан
1004 раза

обновлен
28 Мар '14 16:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru