геометрия - Найти угол РBQ

Из условия следует, что $%AB^2+BC^2 < AC^2$%, то есть угол при вершине $%B$% тупой. Опустим высоту $%BH$% на сторону $%AC$%. Точка $%H$% при этом попадёт на отрезок, а не на его продолжение. Введём обозначения: $%x=AP=QC$%, $%y=PH$%, $%z=HQ$%, $%h=BH$%. Я рассмотрю случай, когда точки на стороне расположены в таком порядке: A, P, H, Q, C. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Можно также решать задачу при помощи векторов: в этом случае не надо рассматривать различные расположения точек.

Итак, в данном случае $%AB^2=(x+y)^2+h^2$%; $%BC^2=(x+z)^2+h^2$%. Далее, $%BP^2=y^2+h^2$%; $%BQ^2=z^2+h^2$%; $%PQ^2=(y+z)^2$%. Отсюда $%BP^2+BQ^2-PQ^2=y^2+z^2+2h^2-(y+z)^2=2h^2-2yz$%. Пользуясь равенством $%AB^2+BC^2=AQ^2+QC^2$%, имеем $%(x+y)^2+(x+z)^2+2h^2=(x+y+z)^2+x^2$%. Выражая отсюда $%2h^2$% и подставляя в предыдущее равенство, имеем, что $%BP^2+BQ^2-PQ^2=2h^2-2yz=(x+y+z)^2+x^2-(x+y)^2-(x+z)^2-2yz=0$% тождественно. Из этого следует (по теореме, обратной теореме Пифагора), что угол $%PBQ$% прямой.