На стороне АС треугольника АВС выбраны точки P и Q так, что АР = QC < AC/2. Оказалось, что (АВ)^2 + (BC)^2 = (AQ)^2 + (QC)^2. Найти угол PBQ.

задан 28 Мар '14 16:49

изменен 28 Мар '14 16:49

@serg55: проверьте, пожалуйста, условие. Там отсутствует симметрия между P и Q. В правой части последнего равенства, насколько я понимаю, одна из букв должна быть P, а не Q.

(28 Мар '14 17:36) falcao

@falcao: Условия приведены верно. Эта задача была на олимпиаде СПБГУ, условия с фотографии, т.е. ошибки нет.

(28 Мар '14 19:28) serg55

Да, здесь всё корректно. Сейчас изложу решение.

(28 Мар '14 21:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Из условия следует, что $%AB^2+BC^2 < AC^2$%, то есть угол при вершине $%B$% тупой. Опустим высоту $%BH$% на сторону $%AC$%. Точка $%H$% при этом попадёт на отрезок, а не на его продолжение. Введём обозначения: $%x=AP=QC$%, $%y=PH$%, $%z=HQ$%, $%h=BH$%. Я рассмотрю случай, когда точки на стороне расположены в таком порядке: A, P, H, Q, C. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Можно также решать задачу при помощи векторов: в этом случае не надо рассматривать различные расположения точек.

Итак, в данном случае $%AB^2=(x+y)^2+h^2$%; $%BC^2=(x+z)^2+h^2$%. Далее, $%BP^2=y^2+h^2$%; $%BQ^2=z^2+h^2$%; $%PQ^2=(y+z)^2$%. Отсюда $%BP^2+BQ^2-PQ^2=y^2+z^2+2h^2-(y+z)^2=2h^2-2yz$%. Пользуясь равенством $%AB^2+BC^2=AQ^2+QC^2$%, имеем $%(x+y)^2+(x+z)^2+2h^2=(x+y+z)^2+x^2$%. Выражая отсюда $%2h^2$% и подставляя в предыдущее равенство, имеем, что $%BP^2+BQ^2-PQ^2=2h^2-2yz=(x+y+z)^2+x^2-(x+y)^2-(x+z)^2-2yz=0$% тождественно. Из этого следует (по теореме, обратной теореме Пифагора), что угол $%PBQ$% прямой.

ссылка

отвечен 28 Мар '14 21:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
28 Мар '14 16:49

показан
390 раз

обновлен
28 Мар '14 21:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru