На плоскости стоит шатер в форме полусферы. Внутри шатра помещены 3 одинаковых шара, которые касаются друг друга, основания шатра и его крыши. Кроме этого, внутри шатра помещен 4-й шар, который касается крыши шатра и каждого из трех других шаров. Шатер рассекается горизонтальной плоскостью, касающейся сверху 3-х одинаковых шаров. В каком отношении она поделит объем четвертого шара?

задан 29 Мар '14 0:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем считать радиус полусферы равным 1. Через $%r$% обозначим радиус каждого из трёх шаров, а $%x$% пусть будет радиусом четвёртого шара. Рассмотрим центры трёх шаров. Они являются вершинами правильного треугольника, и удалены друг от друга на расстояние $%2r$%. Расстояние до центра этого треугольника у каждой из вершин равно $%2r/\sqrt3$%.

Рассмотрим сечение полусферы плоскостью, перпендикулярной основанию и проходящей через центр одного из трёх шаров. Этот шар касается как диаметра полукруга, так и полуокружности. Расстояние от центра полусферы до центра шара равно $%1-r$%. Расстояние от центра до точки касания шаром основания равно $%2r/\sqrt3$%. Получается прямоугольный треугольник, к которому можно применить теорему Пифагора, получая равенство $%(1-r)^2=r^2+4r^2/3$%, откуда $%1-2r=4r^2/3$%. Это квадратное уравнение можно решить, находя $%r$%, но для данной задачи это не обязательно.

Рассмотрим центр четвёртого шара. Она находится на высоте $%1-x$% над основанием, так как касается полусферы в верхней точке. Расстояние от него до центра треугольника с вершинами в центрах трёх шаров равно $%1-x-r$%. Расстояние до центра каждого из шаров равно $%x+r$% ввиду того, что они касаются. Тогда по теореме Пифагора получается $%(x+r)^2=(1-x-r)^2+4r^2/3$%, что равносильно $%2(x+r)-1=4r^2/3$%. Сравнивая с тем, что было выше, имеем $%2(x+r)-1=1-2r$%, то есть $%x=1-2r$%. Поскольку плоскость, касающаяся сверху трёх шаров, проходит на расстоянии $%2r$% от основания, она находится на расстоянии $%1-2r=x$% от верхней точки полусферы, что означает её прохождение через центр четвёртого шара. Его объём будет разделён ровно пополам.

ссылка

отвечен 29 Мар '14 10:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×526

задан
29 Мар '14 0:32

показан
580 раз

обновлен
29 Мар '14 10:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru