Учитель Коли дал Коле задание , уравнение шестой степени. Учитель называет некое число $$n$$ , задача Коли убедиться что есть таких два корня что дают в произведений число p , то есть какие то $$x_{1}x_{2}=n$$. Но если их нет то доказать это . Не надо находить все корни . Есть еще одно условие что Коля не знает общую Т.Виета но учитель его убедил что оно ему не понадобится

задан 29 Мар '14 15:01

изменен 29 Мар '14 15:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Задача не совсем чётко поставлена, потому что не сказано, о каких корнях идёт речь. Скажем, могут ли рассматриваться комплексные корни?

Будем считать, что обычная теорема Виета для квадратных трёхчленов считается известной. Если заданный многочлен $%f(x)$% имеет корни $%x_1$%, $%x_2$% такие, что $%x_1x_2=n$%, то он делится на $%(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)+n$%, где $%n=x_1x_2$%. Если считать, что комплексные корни разрешены, то верно и обратное. Поэтому берём какой-то многочлен второй степени вида $%g(x)=x^2-bx+n$%, где $%b$% -- параметр. Делим с остатком $%f(x)$% на $%g(x)$%. Пусть остаток имеет вид $%r(x)=u+vx$%, где коэффициенты $%u$%, $%v$% являются многочленами от $%b$%. Нас интересует случай делимости без остатка, когда $%u=v=0$%. Осталось выяснить, найдётся ли такое $%b$%.

При помощи алгоритма Евклида находим наибольший общий делитель $%d$% многочленов $%u$%, $%v$%. Если окажется, что $%d=1$%, то решений нет. Если же $%d$% имеет степень (относительно переменной $%b$%) не меньше единицы, то у многочлена $%d$% имеется корень (вообще говоря, комплексный). Он же будет и общим корнем для $%u$%, $%v$%. Находить его при этом не надо -- достаточно выяснить, существует ли он. При помощи описанной процедуры это устанавливается.

ссылка

отвечен 29 Мар '14 20:20

При помощи алгоритма Евклида находим наибольший общий делитель d многочленов u, v.

Не понятно, общий делитель чего мы находим? Можете пояснить более подробно?

(29 Мар '14 20:36) chameleon

у меня точно такая же была идея , но я пытался как то свести в некую итерацию

(29 Мар '14 20:45) parol

@chameleon: у меня было сказано, что $%u$% и $%v$% -- это многочлены от переменной $%b$%. Их НОД мы и находим -- как многочленов от этой переменной.

(29 Мар '14 20:49) falcao

У вас $%u$% и $%v$% - коэффициенты многочлена $%r(x)$%, а не многочлены. И они, вроде как, неизвестны. Возможно, Вы имели в виду что-то другое?

(29 Мар '14 20:57) chameleon

@chameleon: эти коэффициенты возникают в результате деления с остатком многочлена f(x), который нам дан, на многочлен g(x)=x^2-bx+n с параметром b и известным n. Понятно, что частное и остаток (нам важен последний) будут многочленами от x, коэффициенты которых суть многочлены от b, находимые в явном виде в процессе деления "столбиком".

(29 Мар '14 21:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,158
×3,339
×536
×513

задан
29 Мар '14 15:01

показан
1082 раза

обновлен
29 Мар '14 21:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru