Учитель Коли дал Коле задание , уравнение шестой степени. Учитель называет некое число $$n$$ , задача Коли убедиться что есть таких два корня что дают в произведений число p , то есть какие то $$x_{1}x_{2}=n$$. Но если их нет то доказать это . Не надо находить все корни . Есть еще одно условие что Коля не знает общую Т.Виета но учитель его убедил что оно ему не понадобится задан 29 Мар '14 15:01 parol |
Задача не совсем чётко поставлена, потому что не сказано, о каких корнях идёт речь. Скажем, могут ли рассматриваться комплексные корни? Будем считать, что обычная теорема Виета для квадратных трёхчленов считается известной. Если заданный многочлен $%f(x)$% имеет корни $%x_1$%, $%x_2$% такие, что $%x_1x_2=n$%, то он делится на $%(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)+n$%, где $%n=x_1x_2$%. Если считать, что комплексные корни разрешены, то верно и обратное. Поэтому берём какой-то многочлен второй степени вида $%g(x)=x^2-bx+n$%, где $%b$% -- параметр. Делим с остатком $%f(x)$% на $%g(x)$%. Пусть остаток имеет вид $%r(x)=u+vx$%, где коэффициенты $%u$%, $%v$% являются многочленами от $%b$%. Нас интересует случай делимости без остатка, когда $%u=v=0$%. Осталось выяснить, найдётся ли такое $%b$%. При помощи алгоритма Евклида находим наибольший общий делитель $%d$% многочленов $%u$%, $%v$%. Если окажется, что $%d=1$%, то решений нет. Если же $%d$% имеет степень (относительно переменной $%b$%) не меньше единицы, то у многочлена $%d$% имеется корень (вообще говоря, комплексный). Он же будет и общим корнем для $%u$%, $%v$%. Находить его при этом не надо -- достаточно выяснить, существует ли он. При помощи описанной процедуры это устанавливается. отвечен 29 Мар '14 20:20 falcao
Не понятно, общий делитель чего мы находим? Можете пояснить более подробно?
(29 Мар '14 20:36)
chameleon
у меня точно такая же была идея , но я пытался как то свести в некую итерацию
(29 Мар '14 20:45)
parol
@chameleon: у меня было сказано, что $%u$% и $%v$% -- это многочлены от переменной $%b$%. Их НОД мы и находим -- как многочленов от этой переменной.
(29 Мар '14 20:49)
falcao
У вас $%u$% и $%v$% - коэффициенты многочлена $%r(x)$%, а не многочлены. И они, вроде как, неизвестны. Возможно, Вы имели в виду что-то другое?
(29 Мар '14 20:57)
chameleon
@chameleon: эти коэффициенты возникают в результате деления с остатком многочлена f(x), который нам дан, на многочлен g(x)=x^2-bx+n с параметром b и известным n. Понятно, что частное и остаток (нам важен последний) будут многочленами от x, коэффициенты которых суть многочлены от b, находимые в явном виде в процессе деления "столбиком".
(29 Мар '14 21:02)
falcao
|