алгебра - Уравнение шестой степени

Задача не совсем чётко поставлена, потому что не сказано, о каких корнях идёт речь. Скажем, могут ли рассматриваться комплексные корни?

Будем считать, что обычная теорема Виета для квадратных трёхчленов считается известной. Если заданный многочлен $%f(x)$% имеет корни $%x_1$%, $%x_2$% такие, что $%x_1x_2=n$%, то он делится на $%(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)+n$%, где $%n=x_1x_2$%. Если считать, что комплексные корни разрешены, то верно и обратное. Поэтому берём какой-то многочлен второй степени вида $%g(x)=x^2-bx+n$%, где $%b$% -- параметр. Делим с остатком $%f(x)$% на $%g(x)$%. Пусть остаток имеет вид $%r(x)=u+vx$%, где коэффициенты $%u$%, $%v$% являются многочленами от $%b$%. Нас интересует случай делимости без остатка, когда $%u=v=0$%. Осталось выяснить, найдётся ли такое $%b$%.

При помощи алгоритма Евклида находим наибольший общий делитель $%d$% многочленов $%u$%, $%v$%. Если окажется, что $%d=1$%, то решений нет. Если же $%d$% имеет степень (относительно переменной $%b$%) не меньше единицы, то у многочлена $%d$% имеется корень (вообще говоря, комплексный). Он же будет и общим корнем для $%u$%, $%v$%. Находить его при этом не надо -- достаточно выяснить, существует ли он. При помощи описанной процедуры это устанавливается.