Хотел бы получить некоторые поправочные указания к комплексной задаче, каждый её пункт коррелирует с предыдущими, не решишь, не продолжишь, есть места, где я не могу точно определить метод решения или реализовать его.

Условие: Даны векторы $%p$% и $%q$% евклидова пространства $%E_{4}$% с координатами в базисе $%a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$%, векторы которого определены относительно некоторого ортонормированного базиса этого пространства.

Дано: $%p= \begin{bmatrix}2\\0\\1\\1\end{bmatrix} q= \begin{bmatrix}-1\\2\\2\\0\end{bmatrix} a_{1}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\\2\end{bmatrix} a_{2}=\begin{bmatrix}3\\2\\1\\4\end{bmatrix} a_{3}=\begin{bmatrix}-4\\-1\\0\\-1\end{bmatrix} a_{4}=\begin{bmatrix}-1\\-4\\3\\-4\end{bmatrix}$%

Найти: 1. Применяя процесс ортогонализации, ортонормировать базис {$%a_{i}$%} (полученный базис $%b_{j}$%). 2. Найти матрицу перехода $%T_{b_{j}\longrightarrow a_{j}}$% от полученного ортонормированного базиса {$%b_{j}$%} к данному базису {$%a_{i}$%}. 3. Найти координаты $%p$% и $%q$% в этом ортонормированном базисе. 4. Вычислить скалярное произведение $%(p,q)$% в ортонормированном базисе. 5. Вычислить угол между векторами $%p и q$%.

Вопросы:

  1. У меня получилась матрица $%B= \begin{bmatrix}1 & 1 & -2 &0 \\0&2 & 1&1\\1&-1&0&2\\2&0&1&-1 \end{bmatrix}. $% Вычислил правильно, проверял.
  2. Здесь путаюсь, видел несколько разных формул. Одна из них через перемножение изначальной матрицы $%A$% на обратную матрицы $%B$%. Как посоветуете?
  3. Как в общем виде это выполнить?
  4. После нахождения через 3 пункт применяем формулу скалярного произведения, верно?
  5. Также формула, но для cosx=скалярное/произведение модулей, верно?

задан 30 Мар '14 21:21

изменен 30 Мар '14 21:28

10|600 символов нужно символов осталось
2

У Вас пока что базис только ортоганализован, но его надо ортонормировать, разделив каждый базисный вектор на его длину. Здесь у всех векторов базиса длина одинакова, и она равна $%2\sqrt2$%.

После того, как будет получена матрица для ортонормированного базиса, надо будет найти матрицу обратного перехода. В общем случае это делается путём нахождения обратной матрицы, что для матрицы 4-го порядка является достаточно трудоёмкой задачей. Однако в Вашем случае матрица будет ортогональной, поэтому обратная матрица совпадёт с транспонированной.

Та матрица, которая при этом получится, будет матрицей перехода от $%b$% к $%e$%. Чтобы найти матрицу перехода от $%b$% к $%a$%, нужно будет $%B^{-1}$% (после исправления) умножить на $%A$%.

В третьем пункте надо будет умножить найденную матрицу перехода на векторы $%p$% и $%q$%. Получатся векторы-столбцы координат уже в новом (ортонормированном) базисе. Для них скалярное произведение находится по обычным формулам, которые можно применять для любого ортонормированного базиса.

Угол вычисляется через косинус, то есть сначала вычисляется косинус угла как отношение скалярного произведения к произведению длин, а дальше находится арккосинус этого числа.

ссылка

отвечен 30 Мар '14 22:30

Спасибо за подробные указания.

(31 Мар '14 10:28) XAegis
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,413

задан
30 Мар '14 21:21

показан
3507 раз

обновлен
31 Мар '14 10:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru