Пожалуйста, помогите решить неравенство.$%log_5{(2x+1)}\cdot log_3(2x+1)+(x-3)log_3(2x+1)+(x-2)log_5(2x+1)\leq5x-x^2-6$%

задан 30 Мар '14 22:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если к обеим частям неравенства прибавить $%x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$%, то станет видно, что левая часть допускает разложение на множители: $$(\log_3(2x+1)+(x-2))\cdot(\log_5(2x+1)+(x-3))\le0.$$ Поэтому задача сводится к исследованию того, на каких участках сомножители обращаются в ноль, а также положительны или отрицательны. Областью определения неравенства является множество чисел, для которых $%x > -\frac12$%.

Рассмотрим вспомогательное уравнение $%\log_3(2x+1)+(x-2)=0$%. Оно равносильно условию $%2x+1=3^{2-x}$%, что можно записать в виде $%3^x=\frac9{2x+1}$%. Непосредственно видно, что $%x=1$% является решением этого неравенства (пример так специально составлен). Других решений нет, поскольку функция $%3^x$% возрастает, а функция в правой части того же равенства убывает. Можно также заметить, что при $%-\frac12 < x < 1$% левая часть будет меньше правой, то есть $%2x+1 < 3^{2-x}$%, и $%\log_3(2x+1)+(x-2) < 0$%. (Можно дополнительно в этом убедиться, подставляя значение $%x=0$% из рассматриваемого интервала.) Аналогично, при $%x > 1$% всё будет наоборот, то есть $%\log_3(2x+1)+(x-2) > 0$% при этом условии.

Второе вспомогательное уравнение $%\log_5(2x+1)+(x-3)=0$% анализируется таким же способом. Здесь получается $%5^x=\frac{125}{2x+1}$%, и значение $%x=2$% находится подбором. При $%-\frac12 < x < 2$% имеет место неравенство $%\log_5(2x+1)+(x-3) < 0$%; при $%x > 2$% всё обстоит наоборот: $%\log_5(2x+1)+(x-3) > 0$%.

Таким образом, далее всё решается методом интервалов. Точки $%x=1$% и $%x=2$% входят в множество решений, так как неравенство нестрогое. При $%-\frac12 < x < 1$% оба сомножителя в неравенстве будут отрицательными, и это нам не подходит. При $%1 < x < 2$% сомножители имеют разные знаки, что нас устраивает. Наконец, при $%x > 2$% оба сомножителя положительны, и их произведение положительно. Ответом будет $%x\in[1;2]$%.

ссылка

отвечен 30 Мар '14 23:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310

задан
30 Мар '14 22:44

показан
693 раза

обновлен
30 Мар '14 23:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru