Решить уравнение:

$$2cos^2x + 2\sqrt{2}cosxcos^24x+cos^24x=0$$

задан 31 Мар '14 11:31

@student, в условии ошибки нет? Во втором слагаемом может cos4x без квадрата?

(31 Мар '14 13:40) epimkin

@epimkin, нет, я тоже так думал, но всё так и есть.

(31 Мар '14 17:24) student

@epimkin, @student: если бы во втором слагаемом косинус был без квадрата, то получилось бы уравнение $%\sqrt2\cos+\cos4x=0$%, которое решается довольно сложно. Там возникает алгебраическое уравнение 8-й степени относительно косинуса, и я не уверен, что корни там в явном виде можно получить. Случай, когда косинус присутствует в квадрате, более простой, так как возникает дополнительное ограничение.

(31 Мар '14 17:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Выделим полный квадрат и запишем уравнение в виде $%(\sqrt2\cos x+\cos^24x)^2=\cos^44x-\cos^24x$%. Ввиду того, что $%\cos^4t\le\cos^2t$%, правая часть неравенства не может быть положительной. Поскольку левая часть не может быть отрицательной, обе части равны нулю. При этом $%\cos^24x$% равен 0 или 1, и выражение, возводимое в квадрат, также равно нулю. Эти условия являются необходимыми и достаточными.

Пусть $%\cos4x=0$%. Тогда $%\cos x=0$%, откуда $%\cos2x=2\cdot0^2-1=-1$%, и $%\cos4x=2\cdot(-1)^2-1=1$%, что приводит к противоречию.

Пусть $%\cos^24x=1$%. Тогда $%\cos x=-1/\sqrt2$%. Их этого следует, что $%\cos2x=2\cos^2x-1=0$%, и тогда $%\cos4x=2\cdot0^2-1=-1$%. Тем самым, условие $%\cos^24x=1$% выполнено. Следовательно, нужно выписать множество решений уравнения $%\cos x=-1/\sqrt2$%, и получится ответ: $%x=\pm\frac{3\pi}4+2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%.

ссылка

отвечен 31 Мар '14 15:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947
×931

задан
31 Мар '14 11:31

показан
736 раз

обновлен
31 Мар '14 17:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru