Решить уравнение: $$\frac{sin2x+2sin^2x-\sqrt{3}(cosx+sinx)}{\sqrt{\sqrt{3}cosx+sinx}}=0$$

задан 31 Мар '14 12:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$\frac{sin2x+2sin^2x-\sqrt{3}(cosx+sinx)}{\sqrt{\sqrt{3}cosx+sinx}}=0 \Leftrightarrow \frac{2sinxcosx+2sin^2x-\sqrt{3}(cosx+sinx)}{\sqrt{\sqrt{3}cosx+sinx}}=0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(2sinx-\sqrt{3})(cosx+sinx)}{\sqrt{\sqrt{3}cosx+sinx}}=0 \begin{cases}\left[ \begin{aligned}sinx=\frac{\sqrt3}2 \\ tgx=-1\end{aligned}\right. \\ \sqrt{3}cosx+sinx>0 \end{cases}\begin{cases}\left[ \begin{aligned}sinx=\frac{\sqrt3}2 \\ tgx=-1\end{aligned}\right. \\ \sin(x+\frac{\pi}3)>0 \end{cases} \Leftrightarrow\left[ \begin{aligned}x=\frac{\pi}3+2\pi k \\ \ \ \ x=-\frac{\pi}4+2\pi k\end{aligned}\right.(k\in Z) $$

ссылка

отвечен 31 Мар '14 14:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

В числителе, с учётом формулы синуса двойного угла, находится выражение $%(2\sin x-\sqrt3)(\cos x+\sin x)=0$%. Это значит, что $%\sin x=\sqrt3/2$% или $%\cos x=-\sin x$%. Помимо этого, должно выполняться неравенство $%\sqrt3\cos x+\sin x > 0$%.

Для первого из условий, то есть для $%\sin x=\sqrt3/2$%, значение косинуса того же угла равно $%\pm1/2$%. Одно из них удовлетворяет неравенству, а второе не удовлетворяет. Получается, что $%\cos x=1/2$%, что приводит к серии решений $%x=\frac{\pi}3+2\pi k$%, где $%k$% целое.

Для второго условия, то есть для $%\cos x=-\sin x$%, также возникают две возможности: либо косинус равен $%1/\sqrt2$%, а синус противоположен по знаку, либо наоборот. С учётом неравенства оказывается, что первый случай подходит, а второй -- нет (что легко заметить, переписав неравенство в виде $%(\sqrt3-1)\cos x > 0$%, откуда ясно, что косинус должен принимать положительное значение. Таким образом, получается $%\cos x=1/\sqrt2$%, $%\sin x=-1/\sqrt2$%, что даёт вторую из серий: $%x=-\frac{\pi}4+2\pi m$%, где $%m$% целое.

ссылка

отвечен 31 Мар '14 14:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947
×931
×647

задан
31 Мар '14 12:11

показан
1173 раза

обновлен
31 Мар '14 14:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru