При каких значениях параметра а система $$ \begin{cases} y=|x+3|+x-2\\ (x+5)^2 + (y-a+5)^2=a^2 \end{cases} $$

имеет более двух решений?

Построил график 1-го ур-я, графиком второго будет окружность с центром в т. (-5; а-5) и радиуса а. Теперь при а=0 – 1 решение, при а<0 тоже 1 решение. И получилось, что примерно при а>3 более двух решений, но не знаю как точно подсчитать.

задан 31 Мар '14 16:53

изменен 1 Апр '14 0:42

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Удобно сделать замену переменной: $%t=x+3$%. Число решений при этом не изменится. Система примет такой вид: $%y=|t|+t-5$%; $%(t+2)^2+(y-a+5)^2=a^2$%.

Рассмотрим два случая. Если $%t\le0$%, то $%y=-5$%. Подстановка во второе уравнение даёт $%(t+2)^2+a^2=a^2$%, то есть $%t=-2$%. Это решение имеется в наличии при всех значениях $%a$%.

Теперь пусть $%t > 0$%. Из первого уравнения имеем $%y=2t-5$%. Подставим это значение во второе уравнение: $%(t+2)^2+(2t-a)^2=a^2$%. После упрощений получается квадратное уравнение $%5t^2+4t(1-a)+4=0$%. Чтобы система имела более двух решений, необходимо и достаточно, чтобы полученное уравнение имело два различных положительных корня. Для этого, во-первых, дискриминант должен быть положителен. Во-вторых, произведение корней здесь положительно в силу теоремы Виета, и тогда для положительности обоих корней необходимо и достаточно, чтобы их сумма была положительной, то есть имело место неравенство $%a > 1$%.

Приведённый дискриминант равен $%D/4=4(a-1)^2-20$%, откуда с учётом положительности $%a-1$% должно выполняться неравенство $%a-1 > \sqrt5$%. Следовательно, в ответе будет $%a\in(1+\sqrt5;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 31 Мар '14 17:32

Спасибо, а неужели графически эту задачу не решить?

(31 Мар '14 17:48) Динар

И вот такой вопрос хотелось бы задать, предположим у нас есть ур-е прямой, и есть ур-е окружности, центр и радиус окружности зависят от параметра, как можно выразить касание окружности и прямой?

(31 Мар '14 17:54) Динар

Графически тоже можно решить! Но я не уверен, что этот способ будет лучше аналитического.

Если продолжить решать так, как Вы наметили, то получается следующее. Во-первых, радиус окружности равен $%|a|$% в общем случае. Далее, случай отрицательного $%a$% легко анализируется, и там решение всего одно. Для $%a > 0$% надо отследить случай касания. Для этого надо через центр окружности провести прямую перпендикулярную $%y=2x+1$%. Угловой коэффициент там равен $%-1/2$%. Исходя из этого, находится точка пересечения. Такой путь возможен, но он более длинный (можете попробовать и сравнить).

(31 Мар '14 18:40) falcao

В том то и дело, что не могу отследить точку касания, и перпендикуляр проводил, и дошел до случая, что а>0, а как это выразить не знаю. Просто для меня графический способ выглядит более наглядным.

(31 Мар '14 18:48) Динар

@Динар: графический способ использовать полезно, но в данной задаче это надо делать наряду со способом вычислительным. Бывает так, что какую-то величину на графиках можно непосредственно увидеть. Здесь же "критическое" значение равно $%\sqrt5+1$%, и его в любом случае придётся вычислять.

(31 Мар '14 21:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

График первого уравнения угол со сторонамы $%y=2x+1(x>-3), y=-5 (x<-3)$%, график второго уравнения окружность с центром в точке $%O(-5;а-5),$% которая соприкасается с прямой $%y=-5,$% в точке $%(-5;-5).$% Значит $%(-5;-5)$% является решением системы при любом значении $%a.$%

При $%а<0,$% окружность находится ниже прямой $%y=-5,$% и не имеет других общих точек с графиком первого уравнения.

При $%а=0,$% окружность превращается в точку $%(-5;-5)$% и не имеет других общих точек с графиком первого уравнения.

Рассмотрим случай $%a>0.$% Расстояние от точки $%O$% до прямой $% y=-5$% равно $%|a|$%, a до прямой $%y-2x-1=0,$% равно $%\frac{|a+4|}{\sqrt5}. $% При $%a=\sqrt5+1,$% эти расстояния равны,окружность соприкасается двух сторон угла (графика первого уравнения)-система имеет два решения.

Не трудно убедится , что при $%a>\sqrt5+1 \Rightarrow |a|>\frac{|a+4|}{\sqrt5},$% значит окружность пересекает сторону $%y=2x+1$% в двух точках- тогда имеем 3 решения, а при $%0<a<\sqrt5+1 \Rightarrow |a|<\frac{|a+4|}{\sqrt5},$% значит окружность с $%y=2x+1$% не имеет общих точек и соприкасается только с прямой $%y=-5,$% .

Ответ. $%a>\sqrt5+1. $%

ссылка

отвечен 31 Мар '14 21:29

изменен 1 Апр '14 20:34

И снова вопрос, а как вы получили вот это, т.е. самое главное: "Расстояние ... от прямой y−2x−1=0, равно |a+4|5√ ?

(1 Апр '14 19:42) Динар

Расстояние от точки $%M(x_0;y_0)$% до прямой $%ax+by+c=0,$% выражается формулой $% d=\large \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$%

(1 Апр '14 19:48) ASailyan

Спасибо, не знал такой формулы.

(1 Апр '14 19:54) Динар
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×545
×534
×320

задан
31 Мар '14 16:53

показан
1289 раз

обновлен
1 Апр '14 20:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru