4
1

Докажите, что: a) При любом раскрашивании плоскости в три цвета всегда найдется треугольник единичной площади с одноцветными вершинами. б) При любом раскрашивании плоскости в два цвета всегда найдется прямоугольный треугольник единичной площади с одноцветными вершинами

задан 31 Мар '14 20:17

изменен 31 Мар '14 20:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Рассуждаем от противного, предполагая, что такого треугольника нет.

Предположим, что имеется прямая $%\ell$%, все точки которой раскрашены в цвет 1. Тогда все остальные точки раскрашены в цвета 2, 3 (в противном случае найдётся треугольник единичной площади с вершинами цвета 1). Рассмотрим какие-то две точки $%A$%, $%B$% одного цвета (скажем, цвета 2), лежащие в одной полуплоскости с границей $%\ell$% на расстоянии $%a$%. Проведём две прямые, параллельные $%AB$%, отстоящие от $%AB$% на расстояние $%2/a$%. Тогда ни на одной из них нет точек цвета 2, и потому на каждой из них есть луч, все точки которого имеют цвет 3. Ясно, что при этом найдётся треугольник с требуемым свойством.

Итак, теперь можно считать, что у нас нет "одноцветных" прямых. Снова выберем две одноцветные точки $%A$%, $%B$% на каком-то расстоянии $%a$%. Будем считать, что они имеют цвет 1. Тогда на прямых, параллельных $%AB$%, проведённых на расстоянии $%2/a$% от неё, нет точек цвета 1, но тогда там есть точки цвета 2 и 3 на каждой из прямых. Расстояние между этими двумя прямыми равно $%4/a$%. Если окажется, что какие-то две точки на одной из этих прямых расположены на расстоянии $%a/2$% и имеют одинаковый цвет, то треугольник с требуемым свойством имеется. Значит, на расстоянии $%a/2$% у каждой из прямых точки имеют разный цвет. Отсюда следует, что на расстоянии $%a$% точки прямой одноцветны, причём такие есть и для цвета 2, и для цвета 3.

Осталось провести прямую на расстоянии $%2/a$% параллельно одной из двух "крайних" прямых (между которыми находится $%AB$%) с другой стороны. На ней есть точка цвета 2 или 3, и она задаёт треугольник единичной площади вместе с двумя точками того же цвета на расстоянии $%a$%, которые имеются на параллельной прямой.

б) Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $%\sqrt2$%. Среди его вершин есть две одноцветные (цвета 1). Пусть это $%A$% и $%B$%. Рассмотрим квадраты $%ABCD$% и $%ABC'D'$% площади 2 по разные стороны от $%AB$%. Рассуждая от противного, приходим к выводу, что каждая из точек $%C$%, $%D$%, $%C'$%, $%D'$% имеет цвет 2. Далее строим квадраты $%CDEF$% и $%C'D'E'F'$%, где новые точки $%E$%, $%F$%, $%E'$%, $%F'$% будут иметь цвет 1, и так далее.

Середина отрезка $%EF$% должна иметь цвет 2, так как вместе с $%A$% и $%E$% цвета 1 она задаёт прямоугольный треугольник единичной площади. Соответственно, середина $%CD$% имеет цвет 1, середина $%AB$% -- цвет 2, и так далее. Пусть $%K$% -- середина $%EF$%, и $%K'$% -- середина $%E'F'$%. Эти точки имеют цвет 2. Тогда середина $%M$% отрезка $%EK$% обладает тем свойством, что треугольники $%MEE'$% и $%MKK'$% оба прямоугольные, и оба имеют единичную площадь. При любом способе раскраски точки $%M$%, один из этих треугольников будет иметь одноцветные вершины.

ссылка

отвечен 1 Апр '14 0:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,937

задан
31 Мар '14 20:17

показан
745 раз

обновлен
1 Апр '14 0:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru