линейная-алгебра - Инвариантность следа матрицы линейного оператора

Если матрица линейного оператора в одном базисе равна $%A$%, то в другом базисе она будет иметь вид $%B=T^{-1}AT$%, где $%T$% -- матрица перехода. У этих двух матриц совпадают характеристические многочлены: $%P_B(t)=\det(B-tE)=\det(T^{-1}AT-tE)=\det(T^{-1}(A-tE)T)$%, что равно $%\det T^{-1}\cdot\det(A-tE)\cdot\det T=\det(A-tE)=P_A(t)$%.

У характеристического многочлена матрицы $%n$%-го порядка коэффициент при $%t^{n-1}$% равен произведению $%(-1)^{n-1}$% на её след, что ясно из раскрытия определителя. Поэтому $%tr B=tr A$% как коэффициенты при одинаковых степенях у одинаковых многочленов.

Второй способ доказательства: у матриц $%XY$% и $%YX$% следы совпадают, что видно из определения произведения матриц. В обоих случаях это будут суммы $%\sum x_{ij}x_{ji}$%, где суммирование ведётся по всем $%i,j$% от $%1$% до $%n$%. Осталось заметить, что $%B=T^{-1}A\cdot T$%, и $%A=T\cdot T^{-1}A$% имеют описанный выше вид при $%X=T$%, $%Y=T^{-1}A$%.