Как доказать, что след матрицы линейного оператора есть инвариант относительно разных базисов?

задан 2 Апр '14 21:31

изменен 2 Апр '14 23:21

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если матрица линейного оператора в одном базисе равна $%A$%, то в другом базисе она будет иметь вид $%B=T^{-1}AT$%, где $%T$% -- матрица перехода. У этих двух матриц совпадают характеристические многочлены: $%P_B(t)=\det(B-tE)=\det(T^{-1}AT-tE)=\det(T^{-1}(A-tE)T)$%, что равно $%\det T^{-1}\cdot\det(A-tE)\cdot\det T=\det(A-tE)=P_A(t)$%.

У характеристического многочлена матрицы $%n$%-го порядка коэффициент при $%t^{n-1}$% равен произведению $%(-1)^{n-1}$% на её след, что ясно из раскрытия определителя. Поэтому $%tr B=tr A$% как коэффициенты при одинаковых степенях у одинаковых многочленов.

Второй способ доказательства: у матриц $%XY$% и $%YX$% следы совпадают, что видно из определения произведения матриц. В обоих случаях это будут суммы $%\sum x_{ij}x_{ji}$%, где суммирование ведётся по всем $%i,j$% от $%1$% до $%n$%. Осталось заметить, что $%B=T^{-1}A\cdot T$%, и $%A=T\cdot T^{-1}A$% имеют описанный выше вид при $%X=T$%, $%Y=T^{-1}A$%.

ссылка

отвечен 2 Апр '14 21:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,409
×433

задан
2 Апр '14 21:31

показан
5287 раз

обновлен
2 Апр '14 21:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru