математика - Задание с параметрами

Логарифмы можно убрать, составляя уравнение $%|4a-x|=|ax-9|$% с дополнительным ограничением, что обе части отличны от нуля. Равенство вида $%|u|=|v|$% равносильно тому, что $%u=v$% или $%u=-v$% (совокупность).

В первом случае $%4a-x=ax-9$%, то есть $%(a+1)x=4a+9$%. Отсюда следует, что $%a+1\ne0$%, и потому $%x=\frac{4a+9}{a+1}$%. Надо проверить условие $%x\ne4a$%, которое означает, что $%4a+9\ne4a(a+1)$%. Таким образом, $%a\ne\pm\frac32$%. Вывод из этого рассуждения такой: при всех $%a$% кроме $%-1$% и $%\pm\frac32$% уравнение имеет решение за счёт первого случая.

Во втором случае $%x-4a=ax-9$%, то есть $%(a-1)x=9-4a$%. Ясно, что здесь $%a\ne1$%, и $%x=\frac{9-4a}{a-1}$%. Учтём ограничение $%x\ne4a$%, из которого $%9-4a\ne4a(a-1)$%. Снова получается $%a\ne\pm\frac32$%. Значит, при всех $%a$% кроме $%1$% и $%\pm\frac32$% уравнение имеет решение за счёт второго случая.

Подытоживая, заключаем, что уравнение имеет хотя бы одно решение относительно $%x$% при всех $%a$% за исключением $%-\frac32$% и $%\frac32$%.