|
Для непрерывных в области $%G$% функций известно, что $%\left(C(G)\right)^\ast=BV(G)$% (сопряжённым пространством к ним является пространство функций с ограниченной вариацией. Имеются ли какие-нибудь выражения для пространств $%\left(C^k(G) \right)^\ast, 1< k\leq\infty $%, где $%C^k(G)$% - пространство непрерывных $%k$%-раз дифференцируемых функций? Или рассматривались ли они в каких-то трудах, поскольку я не нашёл нужной информации в интернете. задан 3 Апр '14 7:48 
MathTrbl |
|
Вот некоторые соображения по этому поводу. В некотором смысле можно сказать, что для пространства $%C^k[a;b]$% при $%k\ge1$% сопряжённое пространство устроено так же, как и для $%C[a;b]$%. Идея такая: зафиксируем $%k$%, и каждой функции $%f\in C^k[a;b]$% сопоставим $%k$%-мерный вектор $%(f(a),f'(a),\ldots,f^{(k-1)}(a))$% и функцию $%f^{(k)}\in C[a;b]$%. Легко видеть, что этим устанавливается биекция между линейными пространствами $%C^k[a;b]$% и $%{\mathbb R}^k\oplus C[a;b]$%. Сумма пространств при этом наделена нормой, которая будет "эквивалентна" норме в $%C^k[a;b]$%. Грубо говоря, если все производные функции в точке $%a$% не слишком велики, и $%k$%-я производная принимает не слишком большие значения, то все производные функции принимают не слишком большие значения на всём отрезке. За счёт этого, можно рассматривать функционалы на прямой сумме пространств, для которых условие ограниченности в норме прямой суммы оказывается эквивалентно условию ограниченности в норме пространства $%C^k[a;b]$%. Из тех соображений, что сопряжённое пространство для суммы можно отождествить с суммой сопряжённых пространств, а для конечномерного евклидова пространства выполнено равенство $%({\mathbb R}^k)^{\ast}={\mathbb R}^k$%, получается, что для исследуемого случая сопряжённое пространство будет иметь вид $%{\mathbb R}^k\oplus(C[a;b])^{\ast}$%. Это даёт некоторое представление о том, как устроены функционалы на пространствах функций $%C^k[a;b]$%, и далее можно пытаться как-то отождествить одно с другим за счёт "поглощения" прямого слагаемого. Такого рода отождествления, скорее всего, могут быть осуществлены, но это уже отдельный вопрос, на который я не знаю "наилучшей" формы ответа. Так или иначе, $%(C[a;b])^{\ast}$% отождествляется с некоторым подпространством всего пространства функций ограниченной вариации, а не с ним самим, поскольку в описании есть какие-то ограничивающие условия. Присоединение нескольких "точечных" мер (зарядов), связанных с прямыми слагаемыми вида $%{\mathbb R}$% позволяет описывать функционалы через интеграл Римана - Стилтьеса, а это означает, что мы фактически имеем дело с той же конструкцией, а не с каким-то принципиально новым объектом. отвечен 4 Апр '14 8:05 
falcao 1
Привет, falcao, почему ты только работаешь с $%(f, f^{(1)}, f^{(2)},\ldots , f^{(k-1)})$% и не $%(f, f^{(1)}, f^{(2)},\ldots , f^{(k-1)}, f^{(k)})$%?
(4 Апр '14 13:26)
семь
Я рассматриваю $%k$% чисел (производные в точке $%a$%) и одну функцию ($%k$%-ю производную). Этот набор данных однозначно определяет исходную функцию из $%C^k[a;b]$%.
(4 Апр '14 13:46)
falcao
Спасибо. Просто я увлёкся теорией вероятности в банаховых пространствах и думал о том, как можно облегчить процесс решения эллиптических задач, которые в силу своей стационарности, не позволяют применять явные разностные схемы. Там возникают ковариационные операторы $%R:X^\ast \to X$% для радоновых мер (которые являются вероятностными распределениями сепарабельнозначных элементов в $%X$%).
(6 Апр '14 9:13)
MathTrbl
|
Интересный вопрос -- надо будет подумать. Хотелось бы только уточнить, какая рассматривается норма. Для конечного $%k$% естественно было бы рассматривать суммы вида $%||f||+||f'||+\cdots+||f^{(k)}||$%, где $%||\cdot||$% -- максимум модуля функции на отрезке. А что берётся для гладкого случая?
Для конечного k берется стандартная норма. Для гладких функций я уже узнал, что естественной нормы не существует.
У меня кое-какие мысли созрели, и ближе к вечеру я постараюсь что-то оформить.