Решить неравенство: 6(x)^2 + 1 > 3(x)^4 + 4(x)^3 + 4x

задан 3 Апр '14 22:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%3x^4+4x^3-6x^2+4x-1 < 0$%

Задача, фактически, состоит в том, чтобы разложить многочлен на множители (рациональных корней он не имеет). Можно предположить, что в этом конкретном задании имеется разложение на множители с целыми коэффициентами (что бывает далеко не всегда). Если такое разложение удастся найти, то его правильность далее проверяется раскрытием скобок, что даёт строгое доказательство.

Если разложение существует, то оно будет иметь такой вид: $%(3x^2+ax\pm1)(x^2+bx\mp1)$%, где в одном случае у свободного члена берётся минус, а в другом плюс. Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях даёт следующее: $%a+3b=4$%; $%ab\pm1\mp3=-6$%; $%\pm b\mp a=4$%. Знаки здесь выбираются либо "по верху", либо "по низу".

Из второго уравнения $%ab=-4$% или $%ab=-8$%. Первому варианту должно соответствовать $%b-a=4$%, а второму $%a-b=4$%. В обоих случаях числа $%a$%, $%b$% имеют одинаковую чётность. Во втором из вариантов оказывается, что одно число должно делиться на 4 (так как произведение равно $%-8$%), но тогда делится на 4 и второе число (поскольку разность делится на 4), и тогда произведение делится на 16, что невозможно. Значит, рассматриваем вариант $%b-a=4$%. В сочетании с первым уравнением, $%b=2$%, $%a=-2$%. При этом второе уравнение становится верным равенством.

Итак, получается неравенство $%(3x^2-2x+1)(x^2+2x-1) < 0$%. У первого трёхчлена дискриминант отрицателен. Значит, $%x^2+2x-1 < 0$%, то есть $%(x+1)^2 < 2$%. Это значит, что $%|x+1| < \sqrt2$%, и множеством решений будет $%x\in(-\sqrt2-1;\sqrt2-1)$%.

ссылка

отвечен 3 Апр '14 23:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,927

задан
3 Апр '14 22:45

показан
470 раз

обновлен
3 Апр '14 23:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru