Определить, в каких точках комплексной плоскости указанные функции имеют производную и вычислить производную для каждой точки. Указать точки, в которых данные функции аналитические.

$$w=x^2 +iy^2$$ $$w=z^2cosz$$

задан 5 Апр '14 11:28

изменен 7 Апр '14 11:21

Angry%20Bird's gravatar image


9125

А этого делать не надо, потому что здесь надо опираться на другие факты. Многочлен -- функция аналитическая; косинус -- тоже. Произведение аналитических функций аналитично. Сводить второй пример к условиям Коши - Римана можно, но это "накладно".

(5 Апр '14 13:42) falcao

Я в первом комментарии неправильно указал значение производной. Она равна $%2x$%, а не тому, что я написал.

Второй пример вообще не надо решать, а надо сослаться на теоремы из учебника.

(5 Апр '14 13:52) falcao

Учебники по комплексному анализу (ТФКП) есть в Сети. Можно скачать любой из них и посмотреть там доказательство аналитичности элементарных функций. Там не только их аналитичность доказывается, но и выводятся формулы для производных. Они такие же, как для функций действительного переменного, то есть $%(z^2\cos z)'=2z\cos z-z^2\sin z$%.

(5 Апр '14 20:39) falcao

это получается,просто написать что функция аналитичная во всех точках,исходя из теорем,и написать её производную?больше ничего не надо?

(6 Апр '14 6:51) Lorka

Я вынужден был удалить, наверное, штук пять комментариев, чтобы разместить этот. До сих пор не могу понять, по каким "законам" это происходит.

Я именно про это и говорил, что Вы сейчас написали: надо сослаться на теоремы и написать значение производной. Это не задача, над которой надо думать, а тестовый пример. Назначение которого -- проверка знания стандартных фактов и приёмов.

(6 Апр '14 9:20) falcao

спасибо большое,выручили

(6 Апр '14 12:07) Lorka
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Следует заметить, что необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции комплексного переменного $%f(z)=u(x,\ y)+iv(x,\ y)$% является выполнение совокупности двух условий:

  1. вещественная дифференцируемость её действительной и мнимой частей
  2. выполнение условий Коши-Римана $$\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y} ; \\ \dfrac{\partial u}{\partial y}= -\dfrac{\partial v}{\partial x}. \end{cases}$$

Поскольку для функции $%w=u(x,\ y)+iv(x,\ y)=x^2 +iy^2$% $$\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=2x, \;\;\; \dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}=2y, \\ \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=0,\;\;\; \dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=0,$$ то для неё условия Коши-Римана выполняются лишь для тех $%z,$% у которых равны действительная и мнимая части: $%x=y,$% то есть точек вида $%z=x(1+i), \;\;x\in \mathbb{R}.$%

ссылка

отвечен 7 Апр '14 0:02

изменен 7 Апр '14 0:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×499

задан
5 Апр '14 11:28

показан
3194 раза

обновлен
7 Апр '14 0:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru