|
Определить, в каких точках комплексной плоскости указанные функции имеют производную и вычислить производную для каждой точки. Указать точки, в которых данные функции аналитические. $$w=x^2 +iy^2$$ $$w=z^2cosz$$ задан 5 Апр '14 11:28 
Lorka
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Следует заметить, что необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции комплексного переменного $%f(z)=u(x,\ y)+iv(x,\ y)$% является выполнение совокупности двух условий:
Поскольку для функции $%w=u(x,\ y)+iv(x,\ y)=x^2 +iy^2$% $$\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=2x, \;\;\; \dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}=2y, \\ \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=0,\;\;\; \dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=0,$$ то для неё условия Коши-Римана выполняются лишь для тех $%z,$% у которых равны действительная и мнимая части: $%x=y,$% то есть точек вида $%z=x(1+i), \;\;x\in \mathbb{R}.$% отвечен 7 Апр '14 0:02 
Mather |
А этого делать не надо, потому что здесь надо опираться на другие факты. Многочлен -- функция аналитическая; косинус -- тоже. Произведение аналитических функций аналитично. Сводить второй пример к условиям Коши - Римана можно, но это "накладно".
Я в первом комментарии неправильно указал значение производной. Она равна $%2x$%, а не тому, что я написал.
Второй пример вообще не надо решать, а надо сослаться на теоремы из учебника.
Учебники по комплексному анализу (ТФКП) есть в Сети. Можно скачать любой из них и посмотреть там доказательство аналитичности элементарных функций. Там не только их аналитичность доказывается, но и выводятся формулы для производных. Они такие же, как для функций действительного переменного, то есть $%(z^2\cos z)'=2z\cos z-z^2\sin z$%.
это получается,просто написать что функция аналитичная во всех точках,исходя из теорем,и написать её производную?больше ничего не надо?
Я вынужден был удалить, наверное, штук пять комментариев, чтобы разместить этот. До сих пор не могу понять, по каким "законам" это происходит.
Я именно про это и говорил, что Вы сейчас написали: надо сослаться на теоремы и написать значение производной. Это не задача, над которой надо думать, а тестовый пример. Назначение которого -- проверка знания стандартных фактов и приёмов.
спасибо большое,выручили