$%log_{3x-3}3+log_{{(x-1)}^2}27\geq 2 $%

задан 5 Апр '14 22:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%log_{3x-3}3+log_{{(x-1)}^2}27\geq 2 \Leftrightarrow log_{3(x-1)}3+\frac32log_{(x-1)}3\geq 2 \Leftrightarrow \frac1{log_3(3x-3)}+\frac3{2log_3(x-1)}\ge 2\Leftrightarrow $%

$% \Leftrightarrow \frac2{1+log_3(x-1)}+\frac3{log_3(x-1)}\ge 4$%

Обозначим $%y=log_3(x-1),$% получим рациональное неравенство $%\frac2{1+y}+\frac3{y}\ge 4 \Leftrightarrow y\in (-1;-\frac34]\cup (0;1].$%

$%\left[\begin{aligned}-1 < log_3(x-1)\le-\frac34 \\ 0 < log_3(x-1)\le 1\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}\frac13 < x-1\le3^{-\frac34} \\ 1 < x-1\le 3\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}\frac43 < x\le1+3^{-\frac34} \\ 2 < x\le 4\end{aligned}\right. \Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow x\in (\frac43;1+3^{-\frac34}]\cup(2;4]$%

ссылка

отвечен 5 Апр '14 23:25

изменен 5 Апр '14 23:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

ОДЗ: $%x>1$%, $%x$% не равен $%2$%, $%x$% не равен $%4/3$%. Далее "переворачиваем" $%1/log_33(x-1)+3/2\cdot1/log_3(x-1)>=2$%. Заменяем $%log_3(x-1)=t$%, получаем $%1/(t+1)+3/(2t)>=2$% - неравенство $%t$% принадлежит $%(-1;-3/4]$% в объединении с $%(0;1]$%. Выполняем обратную замену, находим $%x$% принадлежит $%(4/3;1+3^{1/4}/3]$% i $%(2;4]$%

ссылка

отвечен 5 Апр '14 23:16

изменен 6 Апр '14 2:29

@Lyudmyla: а как вы определили, что t принадлежит именно такому промежутку(−1;3/4] в объединении с (0;1]?

(5 Апр '14 23:20) Darksider

@Darksider: там не 3/4, а -3/4. Это небольшая опечатка. Сами промежутки получаются в результате приведения дроби к общему знаменателю с последующим применением метода интервалов. Я так понимаю, имелось в виду, что это стандартный ход решения, поэтому детали были опущены, а указан лишь результат.

(5 Апр '14 23:28) falcao

@falcao: да, я вот делаю тоже через метод интервалов и у меня получилось 1 и -3/4. Вместо -1 у меня получилась 1

(5 Апр '14 23:34) Darksider

@Darksider: да, так и есть (что ясно даже из соображений порядка следования чисел). Но окончательный ответ там верный, то есть просто знак "минус" был пропущен.

(5 Апр '14 23:50) falcao

@Darksider: позволю себе рассказать один случай дабы обратить внимание на одно явление. Ко мне обратились с просьбой решить задачу про оптимизацию функции. У меня получился ответ 8, о чём я и сообщил. Идёт встречный вопрос: "почему 8?" Я после этого пишу подробное и детальное объяснение. Потом оказывается, что я делал это всё зря, так как принцип решения был человеку понятен, но у него в самом конце при вычислении значения типа $%5\cdot0+8$% получилось не 8, а 13. Такая вещь часто бывает: 0 мысленно принимают за 1. Если бы меня спросили: "почему 8, а не 13?", я бы сразу догадался, в чём дело.

(6 Апр '14 0:00) falcao

@Darksider: в числителе или в знаменателе -- это влияет только на принадлежность множеству граничных точек. Как у Вас получилось от -1 до 0, если между этими точками заключено -3/4? Границы интервалов там вроде бы получаются такие: -1; -3/4; 0; 1. Знаки чередуются, справа знак "плюс", нас интересует "минус". Тогда и получаются два интервала между первой и второй точкой, а также между третьей и четвёртой.

(6 Апр '14 0:17) falcao

@falcao: спасибо большое. Я наконец-то разобрался)))

(6 Апр '14 0:33) Darksider
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,926
×256

задан
5 Апр '14 22:54

показан
1132 раза

обновлен
6 Апр '14 2:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru