Случайная величина $%X$% распределена по закону, $%N(0,σ)$%. При какой дисперсии $%σ^2$% вероятность $%P\{a≤X≤b\}$% будет наибольшей $%(0<a<b)$%?

задан 7 Апр '14 18:00

изменен 8 Апр '14 13:30

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
3

Случайная величина $%X/\sigma$% имеет стандартное нормальное распределение, поэтому вероятность $%P\{a\le X\le b\}$% равна $%P\{\frac{a}{\sigma}\le\frac{X}{\sigma}\le\frac{b}{\sigma}\}=F(\frac{b}{\sigma})-F(\frac{a}{\sigma})$%, где $%F(x)$% -- функция распределения стандартной нормально распределённой случайной величины. Заметим, что $%F'(x)=p(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$% -- плотность распределения рассматриваемой величины.

Исследуем на максимум функцию $%g(\sigma)=F(\frac{b}{\sigma})-F(\frac{a}{\sigma})$% при $%\sigma > 0$%. Для этого найдём производную и приравняем её к нулю: $%g'(\sigma)=-\frac{b}{\sigma^2}p(\frac{b}{\sigma})+\frac{a}{\sigma^2}p(\frac{a}{\sigma})=0$%. Получается $%\frac{p(\frac{a}{\sigma})}{p(\frac{b}{\sigma})}=\frac{b}a$%, то есть $%e^{-\frac1{2\sigma^2}(a^2-b^2)}=\frac{b}a$%. Логарифмируя, получаем $%\frac{b^2-a^2}{2\sigma^2}=\ln\frac{b}a$%, откуда $$\sigma=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{2\ln\frac{b}a}}.$$ Это значение будет давать глобальный максимум функции $%g$%: легко проверяется, что $%g'$% меняет знак с плюса на минус при переходе через указанную точку.

ссылка

отвечен 7 Апр '14 18:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,208

задан
7 Апр '14 18:00

показан
544 раза

обновлен
7 Апр '14 18:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru