В любой свободной группе все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы. Подскажите идею доказательства данного утверждения, пожалуйста!

задан 7 Апр '14 19:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

Попробую дать "автономное" доказательство на геометрическом языке.

Пусть имеется конечно-порождённая подгруппа $%H$% свободной группы $%F$%, и пусть элемент $%g\in F$% не принадлежит $%H$%. Требуется найти конечный гомоморфный образ группы $%F$%, чтобы образ $%g$% при гомоморфизме не принадлежал образу $%H$%.

Для каждого элемента $%h$% из конечного множества порождающих группы $%H$% рассмотрим приведённое слово, которое его задаёт. Напишем это слово на окружности (она при этом разбивается на отдельные дуги, метками которых являются буквы, то есть свободные образующие группы $%F$% или им обратные). Далее рассмотрим "букет" таких окружностей, где все слова читаются из заданной вершины $%v$%, которая для всех окружностей выбирается общей. Этот объект можно рассматривать как размеченный граф (автомат), который однозначно строится по множеству порождающих подгруппы $%H$% (с точностью до изоморфизма графов). Очевидно, он является конечным.

Предположим, что построенный автомат не является детерминированным, то есть из некоторой вершины $%w$% выходят два различных ребра $%e_1$%, $%e_2$% с одинаковой меткой (то есть порождающим группы $%F$% или ему обратным). Проделаем такое преобразование (т.н. "фолдинг"), которое уменьшает количество рёбер графа. А именно, склеим рёбра $%e_1$% и $%e_2$%, отождествляя их концевые вершины. За конечное число шагов этот процесс закончится, и получится детерминированный автомат. Он обладает следующим свойством: приведённое слово тогда и только тогда задаёт элемент подгруппы $%H$%, когда оно читается на некотором замкнутом пути из $%v$% в $%v$%. Можно также показать, что этот автомат зависит только от $%H$%, и не зависит от выбора системы её образующих, но для данного доказательства это не требуется.

Поскольку наш элемент $%g$% не принадлежит $%H$%, то соответствующее ему приведённое слово либо не читается на построенном автомате, начиная с вершины $%v$%, либо читается, но его конец не равен $%v$%. (Заметим, что в детерминированном автомате есть всего один способ прочитать заданное приведённое слово.) Сведём первый случай ко второму, расширяя в случае необходимости подгруппу $%H$% до большей подгруппы (также конечно-порождённой), которой $%g$% по-прежнему не будет принадлежать. А именно, если $%g$% не читается на построенном автомате с началом в $%v$%, то рассмотрим максимальное начало приведённого слова, представляющего $%g$%, которое читается, и далее добавим к автомату "ветку" с меткой, равной концу этого слова. Автомат останется детерминированным. Считая, что $%F$% имеет ранг по крайней мере 2 (для бесконечной циклической группы всё очевидно), добавим в конце "ветки" петлю с меткой $%b$%, где $%b^{\pm1}$% -- образующий свободной группы, не равный последней букве слова, задающего $%g$%.

Теперь, когда слово $%g$% читается на автомате, но его конец не равен $%v$%, рассмотрим процесс добавления рёбер к автомату, который оставляет его детерминированным, но при этом делает полным. Последнее означает, что для любого образующего $%a$% свободной группы $%F$% и для любой вершины автомата (вершины всё время остаются прежними), существует ребро, исходящее из этой вершины, как с меткой $%a$%, так и с меткой $%a^{-1}$%.

Допустим, что есть вершина, из которой не исходит ребро с меткой $%a$%. Тогда в графе должна быть вершина (возможно, та же самая), из которой не исходит ребра с меткой $%a^{-1}$%. Добавим тогда ребро с меткой $%a$%, идущее из первой вершины во вторую. Автомат остаётся детерминированным. За конечное число шагов мы всё исчерпаем.

Получился автомат, которому соответствует подгруппа $%K$%, содержащая $%H$%, которая имеет в $%F$% конечный индекс (за счёт полноты автомата), и по-прежнему не содержит элемента $%g$%. Теперь искомый гомоморфизм строится просто: достаточно в $%K$% найти подгруппу конечного индекса, нормальную в $%F$%. Такая всегда имеется (это стандартный факт), и факторизация по ней приводит к требуемому результату. Ясно, что образ $%g$% не попадёт в образ $%K$% (а потому и в образ $%H$%), так как мы факторизуем по подгруппе, содержащейся в $%K$%.

Доказательство может показаться сложным, но я готов пояснить все неясные моменты. При помощи "старомодной" техники (использующей системы Шрайера и всё остальное) оно выглядело бы ещё сложнее.

ссылка

отвечен 8 Апр '14 0:14

действительно, доказательство очень сложное, но интересное. Очень много неясных моментов... Мне кажется, можно как-то применить теорему Бернса - Холла. Утверждение само по себе доказываться так сложно не должно. Но мне знаний, наверное, не хватает, чтобы как следует додумать, а может быть что-то вспомнить не могу. Спасибо за ответ в любом случае!)

(8 Апр '14 0:23) Kseniya

Сами эти теоремы (включая то, что содержится в оригинальной статье М.Холла 1949 года) оперируют техникой систем Шрайера. В "развёрнутом" виде это получается сложнее во много раз. Использование "фолдингов" -- более современный и наглядный подход. Там всю "теорию" можно уместить на пару страниц. Есть даже подходящие её изложения на русском языке, если не ориентироваться на работу Столлингса 1983 года.

(8 Апр '14 0:32) falcao

я додумаю, поделюсь с Вами мыслью!

(8 Апр '14 1:13) Kseniya
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,852

задан
7 Апр '14 19:38

показан
523 раза

обновлен
8 Апр '14 1:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru